§ 1. Периодические колебания твердого тела около центра масс. Одночастотные резонансы

Рассмотрим периодические колебания твердого тела в потенциальном поле упругих сил (рис. 9) около неподвижной точки, совпадающей с центром масс. Уравнения Движения тела получим из уравнений колебательного движения свободного твердого тела (2.3.11), полагая в последних

где

Будем искать периодические решения системы уравнений (1.1) при следующих случаях действия внешних моментов:

При этих значениях внешних моментов, как будет показано ниже, выясняются существенные стороны изучаемого явления. Для решения поставленной задачи применим метод малого параметра Паункаре. [131].

Первый случай действия внешних моментов. Пусть внешний момент приложен только в направлении координаты т. е.

Кроме того, примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей: Тогда нетрудно убедиться, что система уравнений (1.1) допускает частное решение

где функция — решение нелинейного неоднородного уравнения, которое получается из третьего уравнения системы (1.1), если положить в нем Согласно этому решению колебания возбуждаются только в направлении координаты Как установлено выше, такое решение может оказаться неустойчивым, следовательно, возможно возбуждение колебаний в направлении координат которые здесь подлежат подробному изучению.

Предположим, что одна из частот порождающей системы, например близка к половине частоты внешней силы , т. е. удовлетворяет соотношению

где - малый параметр, - расстройка частот между а остальные частоты являются нерезонансными.

Здесь расстройка частот вводится для изучения возбудившихся колебаний в некоторой области резонанса второго рода. Тогда уравнения движения (1.1) примут вид

где

Будем искать периодические решения периода где - период внешней возмущающей силы.

Введем время и будем искать периодические решения периода

Теперь уравнения движения имеют вид

где Периодические решения системы (1.4) ищем в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра:

Порождающая система:

Фундаментальное уравнение системы имеет только чисто мнимые корни Корням соответствуют периодические решения периода вида

Чтобы упростить дальнейшие выкладки, представим решения (1.7) в комплексной форме:

где

Подставим выражения (1.5), (1.8) в (1.4) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра

получим уравнения первого приближения в следующем виде:

Второе и третье уравнения допускают одно и только одно периодическое решение при любом выборе их правых частей, так как здесь имеет место нерезонансный случай.

Для того чтобы первое уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть не содержала членов с Это приводит к двум следующим уравнениям:

которые заменой представим в тригонометрической форме:

Введем обозначения:

Уравнения примут вид

Уравнения (1.11) имеют очевидное тривиальное решение соответствующее состоянию

Нас интересуют ненулевые решения, т. е. считаем Уравнения (1.11) представим в виде

Вычитая из первого уравнения второе, получим отсюда найдем фазовый угол

Из первого уравнения имеем Из второго уравнения имеем

Составив произведение (1.12) и (1.13), получим,

Отсюда

Действительные корни могут иметь место только при выполнении хотя бы одного из двух условий:

Эти условия, как и следовало ожидать, совпадают (с точностью до малых величин второго порядка) с условиями неустойчивости состояния полученными в главе IV.

Итак, полученные формулы позволяют аналитически определить амплитуду и фазовый угол для решения в зависимости от других параметров системы. При помощи зависимости (1.15) строим резонансные кривые. Для этого уравнение (1.15) представим через исходные параметры

системы в следующем виде:

где

При получим резонансную кривую, изображенную на рис. 30.

Если же то получим резонансную кривую, наклоненную в сторону малых значений (рис. 31).

Представленные резонансные кривы построены с учетом того обстоятельства, что величина является малой величиной второго порядка по сравнению с остальными членами в формуле (1.16). При характер резонансных кривых не нарушается и без последнего предположения.

Рис. 30.

Рис. 31.

Также решается случай, если в области резонанса находится частота а остальные частоты являются нерезонансными.

Рассмотрим численный пример.

Принимаем следующие зависимости между коэффициентами жесткостей:

При этих соотношениях частоты удовлетворяют условиям, принятым в задаче.

Численные значения параметров равны

Резонансные кривые построены для двух случаев коэффициента трения см сек и которым соответствуют кривые 1 и 2 (рис. 32).

Значения амплитуд при точном резонансе:

Ширина резонансной зоны:

Численный пример показывает, что при соответствующем подборе параметров системы амплитуды колебаний в направлении координаты 0 (или могут быть значительно больше амплитуды в направлении координаты по отношению к которой непосредственно действует внешняя сила.

Рис. 32.

Вычисленные значения амплитуды колебаний в направлении координаты 0 оказались сопоставимыми с результатами экспериментов, которые представлены в главе IX.

Обратимся к исследованию устойчивости полученных периодических решений, т. е. решений (1.8) системы уравнений (1.4).

Возмущенное движение изучаемой системы представим в виде

где соответствует невозмущенному движению (1.4), устойчивость которого исследуется.

Уравнения в вариациях для рассматриваемого решения будут

Устойчивость решения зависит от того, будет ли устойчивым нулевое решение квазигармонической системы (1.17). А устойчивость последнего определяется тем, какие знаки имеют вещественные части характеристических показателей а этой системы.

Займемся теперь определением вещественных частей характеристических показателей квазигармонической системы (1.17). Порождающая система

имеет чисто мнимые корни:

поэтому соответствующие характеристические показатели должны быть подсчитаны более точно. Ввиду аналитичности коэффициентов системы (1.17) характеристические показатели а этой системы также будут аналитическими функциями следовательно, могут быть представлены в виде

Для заключения об устойчивости решения достаточно определить знаки вещественных частей коэффициента -для каждого корня.

Далее, пользуясь известным приемом определения коэффициента (отдельно для каждого корня) из условий периодичности функций вводимых заменой окончательно получим: величины соответствующие корням равны таким образом, состояние устойчиво,

Коэффициент характеризует устойчивость состояния следовательно, устойчивость периодического решения определяется уравнениями

или

где

Учитывая (1.12), (1.13), (1.14), после некоторых преобразований, получим

Необходимые и достаточные условия устойчивости, заключающиеся в том, что вещественные части характеристических показателей должны быть отрицательны, имеют вид

Первое условие всегда выполняется при положительном коэффициенте трения а из второго условия получим при

при

сравнивая эти условия с формулой (1.15), легко установить, что устойчивыми будут верхние ветви кривых (рис. 30, 31), показанные жирными линиями. Движение системы при изменении отношения квадратов частот будет происходить так, как указано стрелками.

Таким же образом рассмотрим другие случаи действия внешних возмущающих сил.

Второй случай действия внешних моментов. Пусть внешняя сила действует только в направлении координаты 0, т. е.

Примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей: но Тогда система уравнений допускает частное решение Согласно этому решению колебания возникают только в направлении координаты 0.

Предположим, что — нерезонансные. Тогда уравнения движения (1.4) примут вид

Далее, поступая аналогично первому случаю, получим условия периодичности решений первого приближения в виде

где введены обозначения:

Система уравнений (1.21) отличается от (1.11) лишь значениями постоянных коэффициентов.

Решениями уравнений (1.21) будут

Резонансные кривые имеют вид, как показано на рис. 30, 31.

Исследование устойчивости полученных рещений приводит к таким же результатам, как и в первом случае действия внешней силы.

Таким образом, колебания в нацравлени координаты возбуждаются так же, как и в направлении координаты 0.

Теперь откажемся от предположения, что Тогда невозможен режим, в котором т. е. возбуждение колебаний в направлении указанных координат неизбежно.

Изучим эти колебания в предположении, что — нерезонансные.

Уравнения движения (1.4) примут вид

Порождающая система

имеет периодические решения периода вида

После таких же выкладок, как и во всех вышерассмотренных случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд колебаний в направлении координаты

откуда получим следующее уравнение для определения амплитуды колебаний где Для построения резонансной кривой это уравнение представим в виде

где

Построенные резонансные кривые (для ведены на рис. 33, 34.

Исследование на устойчивость показывает, например, для что при увеличении движение сначала происходит по кривой . В точке В — срыв: значение амплитуды скачком переходит в точку С и далее изменяется по кривой Если уменьшать то амплитуда возбудившихся колебаний будет изменяться по . В точке F - срыв: значение амплитуды скачком переходит в точку А и дальше будет изменяться по кривой т. е. здесь имеют место такие же явления, как и при обычном резонансе нелинейной системы.

Такие же возбуждения колебаний твердого тела возможны и первом случае, если и

Третий случай действия внешних моментов. Внешние моменты действуют в направлении двух координат, т. е.

Здесь основной целью является выяснение особенностей возбудившихся колебаний в случае действия внешних сил в направлении нескольких главных координат. При этом ограничимся рассмотрением области резонанса 1/2 рода.

Рис. 33.

Рис. 34.

Для этого предположим, что — нерезонансные; кроме того, принимаем Тогда уравнения движения (1.4) примут вид

Далее, поступая так же, как и во всех предыдущих случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд и фаз колебаний в направлении координаты

где

Из уравнений получим

Таким образом, получили известное нам из предыдущего уравнение для квадрата амплитуды следовательно, резонансные кривые имеют тот же характер (рис. 33, 34).

Членом, выражающим действие внешних сил в уравнениях (1.26), является Из выражения для видно, что влияние действия одной силы на возбудившиеся колебания может быть усилено или ослаблено действием другой силы в зависимости от других параметров системы. Следовательно, расширяются возможности регулирования возбудившихся колебаний путем изменения соотношений между параметрами системы.

Например, если принять (из этого условия подбираются параметры жесткостей ), то нетрудно убедиться в том, что следовательно, Таким образом, определенным подбором жесткостей упругих пружин и амплитуд действующих внешних моментов можно устранить возбудившиеся колебания.

На этом закончим рассмотрение характерных случаев действия внешних моментов, для которых выявлены основные стороны поведения нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях одночастотных резонансов рода .

Совершенно таким же образом можно рассматривать и другие случаи действия внешних сил, например,

На основании изложенного выше можно легко составить представление о качественном характере пространственных колебаний под действием этих сил.