Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1. Периодические колебания твердого тела около центра масс. Одночастотные резонансыРассмотрим периодические колебания твердого тела в потенциальном поле упругих сил (рис. 9) около неподвижной точки, совпадающей с центром масс. Уравнения Движения тела получим из уравнений колебательного движения свободного твердого тела (2.3.11), полагая в последних
где
Будем искать периодические решения системы уравнений (1.1) при следующих случаях действия внешних моментов:
При этих значениях внешних моментов, как будет показано ниже, выясняются существенные стороны изучаемого явления. Для решения поставленной задачи применим метод малого параметра Паункаре. [131]. Первый случай действия внешних моментов. Пусть внешний момент приложен только в направлении координаты
Кроме того, примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей:
где функция Предположим, что одна из частот порождающей системы, например
где Здесь расстройка частот
где
Будем искать периодические решения периода Введем время Теперь уравнения движения имеют вид
где
Порождающая система:
Фундаментальное уравнение системы
Чтобы упростить дальнейшие выкладки, представим решения (1.7) в комплексной форме:
где
Подставим выражения (1.5), (1.8) в (1.4) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра получим уравнения первого приближения в следующем виде:
Второе и третье уравнения допускают одно и только одно периодическое решение при любом выборе их правых частей, так как здесь имеет место нерезонансный случай. Для того чтобы первое уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть не содержала членов с
которые заменой
Введем обозначения:
Уравнения примут вид
Уравнения (1.11) имеют очевидное тривиальное решение Нас интересуют ненулевые решения, т. е. считаем
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Из первого уравнения имеем
Составив произведение (1.12) и (1.13), получим,
Отсюда
Действительные корни
Эти условия, как и следовало ожидать, совпадают (с точностью до малых величин второго порядка) с условиями неустойчивости состояния Итак, полученные формулы позволяют аналитически определить амплитуду системы в следующем виде:
где При Если же Представленные резонансные кривы
Рис. 30.
Рис. 31. Также решается случай, если в области резонанса находится частота Рассмотрим численный пример. Принимаем следующие зависимости между коэффициентами жесткостей:
При этих соотношениях частоты Численные значения параметров равны
Резонансные кривые построены для двух случаев коэффициента трения Значения амплитуд при точном резонансе:
Ширина резонансной зоны:
Численный пример показывает, что при соответствующем подборе параметров системы амплитуды колебаний в направлении координаты 0 (или
Рис. 32. Вычисленные значения амплитуды колебаний в направлении координаты 0 оказались сопоставимыми с результатами экспериментов, которые представлены в главе IX. Обратимся к исследованию устойчивости полученных периодических решений, т. е. решений (1.8) системы уравнений (1.4). Возмущенное движение изучаемой системы представим в виде
где Уравнения в вариациях для рассматриваемого решения будут
Устойчивость решения Займемся теперь определением вещественных частей характеристических показателей квазигармонической системы (1.17). Порождающая система
имеет чисто мнимые корни:
поэтому соответствующие характеристические показатели должны быть подсчитаны более точно. Ввиду аналитичности коэффициентов системы (1.17) характеристические показатели а этой системы также будут аналитическими функциями
Для заключения об устойчивости решения Далее, пользуясь известным приемом определения коэффициента Коэффициент
или
где Учитывая (1.12), (1.13), (1.14), после некоторых преобразований, получим
Необходимые и достаточные условия устойчивости, заключающиеся в том, что вещественные части характеристических показателей
Первое условие всегда выполняется при положительном коэффициенте трения
при
сравнивая эти условия с формулой (1.15), легко установить, что устойчивыми будут верхние ветви кривых (рис. 30, 31), показанные жирными линиями. Движение системы при изменении отношения квадратов частот Таким же образом рассмотрим другие случаи действия внешних возмущающих сил. Второй случай действия внешних моментов. Пусть внешняя сила действует только в направлении координаты 0, т. е.
Примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей: Предположим, что
Далее, поступая аналогично первому случаю, получим условия периодичности решений первого приближения в виде
где введены обозначения:
Система уравнений (1.21) отличается от (1.11) лишь значениями постоянных коэффициентов. Решениями уравнений (1.21) будут
Резонансные кривые имеют вид, как показано на рис. 30, 31. Исследование устойчивости полученных рещений приводит к таким же результатам, как и в первом случае действия внешней силы. Таким образом, колебания в нацравлени координаты Теперь откажемся от предположения, что Изучим эти колебания в предположении, что Уравнения движения (1.4) примут вид
Порождающая система
имеет периодические решения периода
После таких же выкладок, как и во всех вышерассмотренных случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд колебаний в направлении координаты
откуда получим следующее уравнение для определения амплитуды
где Построенные резонансные кривые (для Исследование на устойчивость показывает, например, для Такие же возбуждения колебаний твердого тела возможны и Третий случай действия внешних моментов. Внешние моменты действуют в направлении двух координат, т. е.
Здесь основной целью является выяснение особенностей возбудившихся колебаний в случае действия внешних сил в направлении нескольких главных координат. При этом ограничимся рассмотрением области резонанса 1/2 рода.
Рис. 33.
Рис. 34. Для этого предположим, что
Далее, поступая так же, как и во всех предыдущих случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд и фаз колебаний в направлении координаты
где
Из уравнений получим
Таким образом, получили известное нам из предыдущего уравнение для квадрата амплитуды Членом, выражающим действие внешних сил в уравнениях (1.26), является Например, если принять На этом закончим рассмотрение характерных случаев действия внешних моментов, для которых выявлены основные стороны поведения нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях одночастотных резонансов Совершенно таким же образом можно рассматривать и другие случаи действия внешних сил, например,
На основании изложенного выше можно легко составить представление о качественном характере пространственных колебаний под действием этих сил.
|
1 |
Оглавление
|