Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1. Периодические колебания твердого тела около центра масс. Одночастотные резонансыРассмотрим периодические колебания твердого тела в потенциальном поле упругих сил (рис. 9) около неподвижной точки, совпадающей с центром масс. Уравнения Движения тела получим из уравнений колебательного движения свободного твердого тела (2.3.11), полагая в последних
где
Будем искать периодические решения системы уравнений (1.1) при следующих случаях действия внешних моментов:
При этих значениях внешних моментов, как будет показано ниже, выясняются существенные стороны изучаемого явления. Для решения поставленной задачи применим метод малого параметра Паункаре. [131]. Первый случай действия внешних моментов. Пусть внешний момент приложен только в направлении координаты
Кроме того, примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей:
где функция Предположим, что одна из частот порождающей системы, например
где Здесь расстройка частот
где
Будем искать периодические решения периода Введем время Теперь уравнения движения имеют вид
где
Порождающая система:
Фундаментальное уравнение системы
Чтобы упростить дальнейшие выкладки, представим решения (1.7) в комплексной форме:
где
Подставим выражения (1.5), (1.8) в (1.4) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра получим уравнения первого приближения в следующем виде:
Второе и третье уравнения допускают одно и только одно периодическое решение при любом выборе их правых частей, так как здесь имеет место нерезонансный случай. Для того чтобы первое уравнение допускало периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть не содержала членов с
которые заменой
Введем обозначения:
Уравнения примут вид
Уравнения (1.11) имеют очевидное тривиальное решение Нас интересуют ненулевые решения, т. е. считаем
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Из первого уравнения имеем
Составив произведение (1.12) и (1.13), получим,
Отсюда
Действительные корни
Эти условия, как и следовало ожидать, совпадают (с точностью до малых величин второго порядка) с условиями неустойчивости состояния Итак, полученные формулы позволяют аналитически определить амплитуду системы в следующем виде:
где При Если же Представленные резонансные кривы
Рис. 30.
Рис. 31. Также решается случай, если в области резонанса находится частота Рассмотрим численный пример. Принимаем следующие зависимости между коэффициентами жесткостей:
При этих соотношениях частоты Численные значения параметров равны
Резонансные кривые построены для двух случаев коэффициента трения Значения амплитуд при точном резонансе:
Ширина резонансной зоны:
Численный пример показывает, что при соответствующем подборе параметров системы амплитуды колебаний в направлении координаты 0 (или
Рис. 32. Вычисленные значения амплитуды колебаний в направлении координаты 0 оказались сопоставимыми с результатами экспериментов, которые представлены в главе IX. Обратимся к исследованию устойчивости полученных периодических решений, т. е. решений (1.8) системы уравнений (1.4). Возмущенное движение изучаемой системы представим в виде
где Уравнения в вариациях для рассматриваемого решения будут
Устойчивость решения Займемся теперь определением вещественных частей характеристических показателей квазигармонической системы (1.17). Порождающая система
имеет чисто мнимые корни:
поэтому соответствующие характеристические показатели должны быть подсчитаны более точно. Ввиду аналитичности коэффициентов системы (1.17) характеристические показатели а этой системы также будут аналитическими функциями
Для заключения об устойчивости решения Далее, пользуясь известным приемом определения коэффициента Коэффициент
или
где Учитывая (1.12), (1.13), (1.14), после некоторых преобразований, получим
Необходимые и достаточные условия устойчивости, заключающиеся в том, что вещественные части характеристических показателей
Первое условие всегда выполняется при положительном коэффициенте трения
при
сравнивая эти условия с формулой (1.15), легко установить, что устойчивыми будут верхние ветви кривых (рис. 30, 31), показанные жирными линиями. Движение системы при изменении отношения квадратов частот Таким же образом рассмотрим другие случаи действия внешних возмущающих сил. Второй случай действия внешних моментов. Пусть внешняя сила действует только в направлении координаты 0, т. е.
Примем следующие соотношения между коэффициентами жесткостей: Предположим, что
Далее, поступая аналогично первому случаю, получим условия периодичности решений первого приближения в виде
где введены обозначения:
Система уравнений (1.21) отличается от (1.11) лишь значениями постоянных коэффициентов. Решениями уравнений (1.21) будут
Резонансные кривые имеют вид, как показано на рис. 30, 31. Исследование устойчивости полученных рещений приводит к таким же результатам, как и в первом случае действия внешней силы. Таким образом, колебания в нацравлени координаты Теперь откажемся от предположения, что Изучим эти колебания в предположении, что Уравнения движения (1.4) примут вид
Порождающая система
имеет периодические решения периода
После таких же выкладок, как и во всех вышерассмотренных случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд колебаний в направлении координаты
откуда получим следующее уравнение для определения амплитуды
где Построенные резонансные кривые (для Исследование на устойчивость показывает, например, для Такие же возбуждения колебаний твердого тела возможны и Третий случай действия внешних моментов. Внешние моменты действуют в направлении двух координат, т. е.
Здесь основной целью является выяснение особенностей возбудившихся колебаний в случае действия внешних сил в направлении нескольких главных координат. При этом ограничимся рассмотрением области резонанса 1/2 рода.
Рис. 33.
Рис. 34. Для этого предположим, что
Далее, поступая так же, как и во всех предыдущих случаях, получим следующие уравнения для определения амплитуд и фаз колебаний в направлении координаты
где
Из уравнений получим
Таким образом, получили известное нам из предыдущего уравнение для квадрата амплитуды Членом, выражающим действие внешних сил в уравнениях (1.26), является Например, если принять На этом закончим рассмотрение характерных случаев действия внешних моментов, для которых выявлены основные стороны поведения нелинейных пространственных колебаний твердого тела в областях одночастотных резонансов Совершенно таким же образом можно рассматривать и другие случаи действия внешних сил, например,
На основании изложенного выше можно легко составить представление о качественном характере пространственных колебаний под действием этих сил.
|
1 |
Оглавление
|