§ 2. Линеаризованные уравнения движения твердого тела

Нередко колебания твердого тела анализируются на основе линеаризованных уравнений движения. Линеаризацию уравнений колебаний твердого тела легко осуществить, предполагая, что его перемещения линейные и угловые настолько малы, что величинами второго и более высоких порядков относительно координат и их производных можно пренебречь. Это предположение означает также, что тригонометрические функции углов можно заменить первыми членами их разложений в степенные ряды, т. е.

Произведем линеаризацию уравнений обобщенной модельной системы (1.10). Обратившись к кинематическим соотношениям

(1.1.6), найдем компоненты угловой скорости

Линеаризованные значения направляющих косинусов возьмем из таблицы 1.5 главы I:

Проекции (1.11) кинетического момента о примут вид

Использовав это в уравнениях (1.10) и учитывая условия линеаризации, изложенные выше, приходим к уравнениям

В отличие от уравнений (1.10) здесь компоненты сил и моментов потенциального поля и компоненты сил и моментов сопротивления содержат лишь лингйные члены. Выразим их в явном виде.

В соответствии с (1.6) представим силовую функцию в виде квадратичной формы координат

где — постоянные коэффициенты, определяемые свойствами силового поля.

Соотношения (1.12) дают компоненты сил

Из выражений (1.13) и (1.14) найдем с использованием (2.2)

компоненты моментов сил:

Аналогично получим явные выражения для сил сопротивления движению. Запишем диссипативную функцию (1.9) в виде:

где -постоянные заданные коэффициенты.

Далее, пользуясь соотношениями (1.15) — (1.17), найдем

и далее

Используя выражения (2.3)-(2.7), представим линеаризованные уравнения (2.1) в следующей форме:

Такие же уравнения можно получить, пользуясь методом Лагранжа. Чтобы убедиться в этом, заметим, что кинетическая энергия тела в линеаризованной задаче определяется выражением

Потенциальная энергия в рассматриваемом случае равна

Используя выражения (2.9), (2.10) в уравнениях Лагранжа второго рода (1.4.10), получим те же уравнения (2.8).

Рассмотрим типичный случай линеаризованной задачи о колебаниях твердого тела в потенциальном поле сил.

Пусть твердое тело связано с неподвижным основанием упругими элементами (амортизаторами) и таким образом образует колебательную систему с шестью степенями свободы (рис. 8, а, б). Для тела известны его масса М, главные центральные моменты инерции А, В, С. Упругие амортизаторы, число которых крепятся к телу в точках координаты которых известны. Каждый амортизатор может деформироваться в направлении осей . Массой амортизатора пренебрегаем. Чтобы упростить задачу, будем считать, что каждый амортизатор представляет собою совокупность трех упругих элементов с разными характеристиками жесткости, присоединенных к телу в одной точке, как показано на схеме рис. вторые концы упругих элементов соединены с неподвижным основанием; каждый из трех упругих элементов одного амортизатора ориентирован параллельно осям в положении покоя. Такая колебательная система может служить в качестве расчетной модели для ряда технических объектов, в том числе для машин и приборов, установленных на амортизаторах, для летательных аппаратов, судов, автомобилей, вагонов и других объектов в тех случаях, когда допустимо заменить реальный объект твердым телом, на которое действует любая система линейных потенциальных сил. Выбор механической системы с упругими элементами в качестве модели сделан еще потому, что на ней удобно и практично проводить эксперименты, чем также будем пользоваться. Чтобы уравнения (2.8) описывали колебания этой системы, необходимо выразить квазиупругие коэффициенты а также коэффициенты сил српротивления через параметры системы. Считаем, как и презкде, что оси неподвижной системы и оси подвижной системы Оххуг в начальный момент времени

(кликните для просмотра скана)

имеют общее начало координат, помещенное в центре масс тела. Оси Огхуг являются главными центральными осями инерции тела. Координатами системы являются перемещения и углы Эйлера введенные ранее.

На схеме рис. 8, б упругий амортизатор представлен в виде трех его составляющих, ориентированных параллельно координатным осям. Будем считать, что упругая сила каждого упругого элемента пропорциональна его деформации и направлена вдоль оси этого элемента. Заметим, что в линеаризованной задаче из-за малых перемещений направление упругой силы можно считать совпадающим с осью недеформированного упругого элемента; имеющие место малые отклонения оси при движении вносят поправки второго порядка малости, которые в линейной теории не учитываются (в дальнейшем, при рассмотрении нелинейных задач, это упрощение будет отброшено).

Обозначим для любого амортизатора координаты точки его крепления к твердому телу деформации в направлении осей обозначим жесткости в направлении тех же осей

Таким образом, упругие силы амортизатора , выразим линейными соотношениями

Поскольку координаты любой точки тела, в которой присоединен амортизатор, определяются соотношениями

деформации упругих элементов выразятся так:

Потенциальная энергия деформации всех упругих элементов определяется выражением

Подставляя выражения (2.13) для деформаций, легко получить потенциальную энергию в форме откуда непосредственна

следуют выражения для квазиупругих коэффициентов

кроме того,

Коэффициенты сил сопротивления движению могут быть выражены в зависимости от того, какова рабочая гипотеза, характеризующая действие этих сил. Рассмотрим две гипотезы, который используются часто.

Согласно первой гипотезе тело движется в сопротивляющейся среде, реакции которой пропорциальны скоростям линейных и угловых перемещений тела. В этом случае коэффициенты должны быть определены из экспериментов, как коэффициенты пропорциональности в выражениях (2.6).

Вторая гипотеза относит силы сопротивления к перемещениям отдельных точек тела. Предполагается, что в этих точках действуют сосредоточенные силы сопротивления движению, пропорциональные скорости перемещения этих точек относительно их положений равновесия.

Пусть, например, в точке тела с координатами действует сила сопротивления движению зависящая линейно от скоростей перемещения этой точки по отношению к ее положению равновесия. Проекции этой силы на оси неподвижной системы выразим соотношениями

где коэффициенты пропорциональности считаются заданными.

В таком случае коэффициенты в выражении диссипативной функции (2.5) будут определяться не только значениями но и значениями координат точек

Положим для конкретности, что в колебательной системе, представленной на рис. 8, б, силы сопротивления сосредото

чены в точках т. е. в тех же точках, в которых к телу присоединены упругие амортизаторы. Чтобы определить значения необходимые для выражений (2.6) и (2.7), поступим следующим образом. Образуем диссипативную функцию, соответствующую силам (2.16)

Выразив в ней скорости через координаты системы с помощью соотношений (2.13), придем к диссипативной функции в форме, аналогичной (2.5). Сравнивая коэффициенты при одинаковых получим значения выраженные через коэффициенты координаты Из сравнения видно, что выражения для будут по своей структуре совпадать с выражениями (2.15). Заменив в на соответственно на получим явные выражения для

Приемлемость первой, второй или некоторой комбинированной гипотезы о характере приложения или распределения сил сопротивления движению во многом зависит от специфики каждой конкретной задачи о колебаниях твердого тела.

Уравнения движения (2.8) иногда удобно представлять в компактной форме

где используются следующие векторные и матричные обозначения:

— вектор-столбец, характеризующий перемещение,

- столбец, характеризующий действие внешних сил.

— матрица коэффициентов сил инерции,

— матрица коэффициентов сил сопротивления,

— матрица коэффициентов жесткости.

Уравнения (2.8) или (2.18) описывают колебания твердого тела как линейной системы с шестью степенями свободы. Очевидно, что эти уравнения намного проще исходных нелинейных уравнений (1.10), однако эта простота достигнута ценою искусственного исключения многочисленных нелинейных связей между координатами системы. Естественно, что по этой причине уравнения (2.8) способны отразить лишь часть тех динамических свойств, которыми обладает реальная колебательная система, содержащая твердое тело.

Исследования колебаний твердого тела, описываемых линейными уравнениями движения, весьма важны. Большинство машин, приборов и других объектов техники создавались и изучались на базе представлений о колебаниях твердого тела как линейной системы. Такие колебания изучены исчерпывающим образом. Трудно перечислить множество работ, в которых колебания твердого тела рассматривались на основе линейных уравнений движения. Краткое изложение теории линейных колебаний твердого тела дается в следующей главе.

Следует также отметить, что представления о колебаниях твердого тела на основе линейных уравнений служат фундаментом, на котором строится теория нелинейных колебаний твердого тела, развиваемая на основе уравнений квазилинейного типа.