§ 6. Обобщение критериев устойчивости
В предыдущих разделах (§§ 4, 5) рассматривались вопросы пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях резонансов и были установлены критерии устойчивости. По соображениям методического характера внимание было сосредоточено на одном из возможных вариантов действия внешних сил, именно, предполагалось, что внешняя сила действует лишь в направлении координаты 
в направлении остальных пяти координат внешних сил нет. При анализе пространственной устойчивости движения были рассмотрены случаи, когда резонансными были либо координата 0, либо координаты 
Теперь, когда названные задачи проанализированы и решены, представляется целесообразным обобщить или распространить полученные результаты на другие случаи, близкие к рассмотренным, но не полностью совпадающие с ними. Существо обобщения, как увидим далее, будет состоять в том, чтобы конечные соотношения (неравенства), установленные для координаты 0 или для координат 
записать также для других координат твердого тела. Аналогичным образом будут обобщены результаты, связанные с выбором 
в качестве координаты, относительно которой действует внешняя сила, на другие варианты приложения внешней силы.
Сначала распространим на все координаты твердого тела 
результаты, полученные в § 4 для координаты 0 при анализе пространственной устойчивости колебаний в условиях резонанса типа 
По-прежнему будем считать, что внешняя сила 
действует в направлении координаты 
Пусть резонансному соотношению 
удовлетворяет любая конкретная частота 
соответствующая координате 
Условия устойчивости состояния 
или 
будут
где обозначено:
Неравенства (4.8) получаются из (6.1) как частный случай, если положить 
Если же резонансным соотношениям удовлетворяют одновременно две частоты 
, то устойчивость состояний 
определяется характером
корней следующего уравнения: 
где значения 
те же, что в (6.1), 
соответственно равны
Очевидно, что уравнение (5.5) можно получить из (6.2), полагая 
Аналогичным образом рассмотрим более общий случай действия внешних возмущающих сил. Пусть внешняя периодическая сила 
непосредственно приложена в направлении любой координаты 
Тогда при выполнении резонансного соотношения
условия устойчивости равновесного состояния относительно переменных 
имеют вид
Для кратных резонансных соотношений
условия устойчивости состояний 
определяются характером корней 
уравнения
где значения 
даны в приложении 3.
Очевидно, из (6.7), (6.5) получаются соответственно неравенства (6.1) и уравнение (6.2) при 
Неравенства (6.5) и уравнение (6.7) отличаются соответственно от неравенств (4.8) и уравнения (5.5) только значениями постоянных коэффициентов 
Условия отрицательности вещественных частей корней 
уравнения (6.7) определяются неравенствами (5.6). В предположении, что 
эти неравенства представятся в виде (5.7), где значения Т и 
следующие:
В развернутом виде условия устойчивости состояний 
при вышепринятых предположениях запишутся так:
при
или
при
Если 
то условия устойчивости имеют вид
При 
условия устойчивости можно представить в форме:
Отсюда видно, что неравенства 
определяют область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы независимо от значений коэффициентов сил трения и расстройки. Пользуясь выражениями (5.6), (6.5) — (6.11) и учитывая значения величин 
можно легко получить условия возникновения пространственных колебаний тела для каждого конкретного случая в областях резонансов типа 
