§ 6. Обобщение критериев устойчивости

В предыдущих разделах (§§ 4, 5) рассматривались вопросы пространственной устойчивости колебаний твердого тела в условиях резонансов и были установлены критерии устойчивости. По соображениям методического характера внимание было сосредоточено на одном из возможных вариантов действия внешних сил, именно, предполагалось, что внешняя сила действует лишь в направлении координаты в направлении остальных пяти координат внешних сил нет. При анализе пространственной устойчивости движения были рассмотрены случаи, когда резонансными были либо координата 0, либо координаты

Теперь, когда названные задачи проанализированы и решены, представляется целесообразным обобщить или распространить полученные результаты на другие случаи, близкие к рассмотренным, но не полностью совпадающие с ними. Существо обобщения, как увидим далее, будет состоять в том, чтобы конечные соотношения (неравенства), установленные для координаты 0 или для координат записать также для других координат твердого тела. Аналогичным образом будут обобщены результаты, связанные с выбором в качестве координаты, относительно которой действует внешняя сила, на другие варианты приложения внешней силы.

Сначала распространим на все координаты твердого тела результаты, полученные в § 4 для координаты 0 при анализе пространственной устойчивости колебаний в условиях резонанса типа По-прежнему будем считать, что внешняя сила действует в направлении координаты

Пусть резонансному соотношению удовлетворяет любая конкретная частота соответствующая координате Условия устойчивости состояния или будут

где обозначено:

Неравенства (4.8) получаются из (6.1) как частный случай, если положить

Если же резонансным соотношениям удовлетворяют одновременно две частоты , то устойчивость состояний определяется характером

корней следующего уравнения:

где значения те же, что в (6.1), соответственно равны

Очевидно, что уравнение (5.5) можно получить из (6.2), полагая

Аналогичным образом рассмотрим более общий случай действия внешних возмущающих сил. Пусть внешняя периодическая сила непосредственно приложена в направлении любой координаты Тогда при выполнении резонансного соотношения

условия устойчивости равновесного состояния относительно переменных имеют вид

Для кратных резонансных соотношений

условия устойчивости состояний определяются характером корней уравнения

где значения даны в приложении 3.

Очевидно, из (6.7), (6.5) получаются соответственно неравенства (6.1) и уравнение (6.2) при

Неравенства (6.5) и уравнение (6.7) отличаются соответственно от неравенств (4.8) и уравнения (5.5) только значениями постоянных коэффициентов Условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (6.7) определяются неравенствами (5.6). В предположении, что эти неравенства представятся в виде (5.7), где значения Т и следующие:

В развернутом виде условия устойчивости состояний при вышепринятых предположениях запишутся так:

при

или

при

Если то условия устойчивости имеют вид

При условия устойчивости можно представить в форме:

Отсюда видно, что неравенства определяют область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы независимо от значений коэффициентов сил трения и расстройки. Пользуясь выражениями (5.6), (6.5) — (6.11) и учитывая значения величин можно легко получить условия возникновения пространственных колебаний тела для каждого конкретного случая в областях резонансов типа