31. Признак Коши существования предела.

Указанный в [30] признак существования предела является лишь достаточным, но не необходимым условием существования предела, ибо, как мы знаем [27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не монотонно.

Французский математик Коши дал необходимое и достаточное условие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем. Если предел известен, то характерным для него является тот факт, что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение разности между пределом и переменной меньше любого заданного положительного . Согласно признаку Коши, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы, начиная с некоторого значения переменной, разность между любыми двумя последующими значениями переменной была меньше любого заданного положительного .

Дадим точную формулировку признака Коши.

Признак Коши. Для того чтобы переменная имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего услдзия: пои любом заданном положительном числе существует такое значение что для любых последующих значений выполняется неравенство: .

Положим, что мы имеем пронумерованную переменную

Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие существования предела у этой последовательности состоит в следующем: при любом заданном положительном существует такое N (зависящее от ), что

Необходимость этого условия доказывается очень просто. Если наша последовательность имеет предел а, то напишем откуда следует

Но, в силу определения предела, существует такое N, что если и, тем самым, если Короче говоря, если значения становятся сколь угодно близкими к а, то они становятся сколь угодно близкими и друг к другу.

Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. 44).

Рис. 44.

Пусть точка координатной оси, соответствующая числу Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию существует такое значение что

т е. все точки при находятся внутри отрезка длина которого равна двум и середина которого есть точка с абсциссой Точно так же существует значение такое, что

причем можно считать, что .

Из сказанного следует, что все точки при находятся внутри отрезка длина которого равна единице и середина которого есть точка с абсциссой другой стороны, все эти точки должны находиться внутри отрезка откуда следует, что отрезки I и должны иметь общук часть. Пусть. эта общая часть. В силу сказанного выше точкц. при должны находиться внутри отрезка

Точно так же существует такое, что , при . Аналогично предыдущему, построим отрезок которого не превосходит и который принадлежит отрезку причем все точки при будут находиться внутри него. Полагая получим, таким образом, ряд отрезков из которых каждый последующий заключается в предыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке А, и число соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величины так как из описанного выше построения следует, что при достаточно большом значении s все точки будут сколь угодно близки к точке А.

В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнение Кеплера которое служит для определения положения планеты на своей орбите. Урав нение это имеет вид

где а и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем и единицей, а х — неизвестное. Возьмем любое число и построим последовательность чисел

Вычитая из второго из этих равенств почленно первое, получим

Принимая во внимание, что , получим

Совершенно так же можем получить следующее неравенство:

или, пользуясь неравенством (10), можем написать

Продолжая подобные вычисления, получим при всяком неравенство

Рассмотрим теперь разность считая для определенности

Пользуясь неравенством (11) и формулой для суммы членов геометрической прогрессии, будем иметь

При беспредельном увеличении n множитель стремится к нулю [251, множитель постоянный: дробь — всегда заключается между нулем и т. е. ограничена, ибо, при заключается между нулем и единицей. Таким образом, при беспредельном увеличении и любом разность стремится к нулю, и условие (9) выполнено. Мы можем, согласно условию Коши, утверждать, что существует предел

В равенстве

будем беспредельно увеличивать . Пользуясь тем, что при как это мы покажем в [34], в пределе получим

т. е. предел переменной есть корень уравнения Кеплера.

При построении последовательности мы исходили из произвольного числа . Однако покажем, что уравнение Кеплера не может иметь двух различных корней, откуда следует, что не зависит от выбора и равняется единственному корню уравнения Кеплера.

Положим, что кроме 6 оно имеет еще корень и покажем, что . По условию, кроме (12) имеем

Вычитая из этого равенства почленно равенство (12), получим

откуда

Но при любом угле и последнее неравенство приводит к

В силу последнее неравенство может иметь место только при , т. е. откуда и следует, что уравнение Кеплера имеет только один корень.