1.6.4 Метод введения дополнительного события

Этот метод, предложенный Данцигом, Кестеном и Ранненбергом (метод коллективных меток - method of collective marks) и развитый затем Г.П. Климовым (метод «катастроф»), позволяет легко получить аналитические результаты в ситуациях, когда другие известные методы приводят к трудоемким выкладкам. Особенно эффективен он оказался при анализе ненадежных и приоритетных систем массового обслуживания.

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть требуется найти некоторое распределение, характеризующее функционирование СМО. Производящей функции этого распределения (если распределение дискретное) или его преобразованию Лапласа - Стилтьеса придается вероятностный смысл за счет «раскрашивания» запросов или введения в рассмотрение потока «катастроф». Затем вводится в рассмотрение некоторое (дополнительное) случайное событие и вероятность его подсчитывается в терминах производящей функции или преобразованию Лапласа - Стилтьеса искомого распределения двумя различными способами. В результате получается уравнение, решением которого является функция, которая интересует исследователя.

Проиллюстрируем этот метод, применив его для нахождения вероятностных характеристик системы MG1. Важной характеристикой производительности многих реальных систем является распределение периода занятости системы. Период занятости есть интервал времени с момента поступления запроса в пустую систему до момента, когда система впервые вновь окажется пустой. Знание периода занятости позволяет решать задачи, связанные, например, с планированием проведения в системе профилактических работ, исследованием возможности дополнительной загрузки прибора выполнением некоторой второстепенной «фоновой» работы и т.д.

Обозначим функцию стационарного распределения длины периода занятости в рассматриваемой системе, -ее преобразование Лапласа - Стилтьеса.

Считаем, что выполняется условие:

гарантирующее существование стационарного распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО.

Утверждение 13.

Преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Легко видеть, что распределение длины периода занятости системы не зависит от того, в каком порядке обслуживаются запросы. Для облегчения анализа структуры периода занятости предположим, что запросы обслуживаются в инверсионном порядке, то есть на обслуживание всегда выбирается запрос, пришедший в систему последним. Такая дисциплина выбора из очереди кодируется как LIFO (Last In - First Out) или LCFS (Last Came - First Served). При такой дисциплине выбора из очереди каждый запрос как бы порождает период занятости системы запросами, пришедшими в систему после него. Причем структура и, следовательно, распределение длины периода занятости, порожденного некоторым запросом, такие же, как структура и распределение длины периода занятости системы. Используя эти рассуждения, мы приходим к пониманию того, что период занятости системы состоит из времени обслуживания первого запроса, с которого начался период занятости, и случайного числа периодов занятости, порожденных запросами, пришедшими в систему за время обслуживания первого запроса.

Теперь предположим, что независимо от функционирования данной системы поступает простейший поток катастроф интенсивности s. Введем в рассмотрение (дополнительное) событие А, состоящее в том, что за данный период занятости не поступили катастрофы.

Напомним, что согласно вероятностной трактовке преобразования Лапласа - Стилтьеса, величина есть вероятность того, что не произойдет ни одной катастрофы за случайное время, имеющее функцию распределения H(t). Поэтому легко понять, что вероятность события А определяется следующим образом:

Найдем теперь вероятность этого же события иначе. Назовем произвольный запрос «плохим», если за период занятости, порожденный им, наступает катастрофа. Используя достигнутое нами понимание структуры периода занятости, нетрудно убедиться, что для того, чтобы запрос, с которого начался период занятости, был неплохим (вероятность этого есть Р(А)), необходимо и достаточно, чтобы за время его обслуживания не поступили события из суммарного потока катастроф и потока плохих запросов.

Поток катастроф является простейшим потока интенсивности s. Поток плохих запросов получается из исходного простейшего потока интенсивности в результате применения простейшей процедуры рекуррентного просеивания (произвольный запрос включается в просеянный поток с вероятностью независимо от других запросов). Поэтому, согласно Утверждению 6, просеянный поток является простейшим потоком интенсивности Согласно Утверждению 5, суммарный поток катастроф и плохих запросов является простейшим потоком интенсивности

Таким образом, используя еще раз вероятностную трактовку преобразования Лапласа - Стилтьеса мы получаем следующую формулу для вероятности события :

Сравнивая выражения (1.83) и (1.84), мы убеждаемся в справедливости формулы (1.82). Утверждение 13 доказано.

Уравнение (1.82), полученное Дж. Кендаллом в 1951 году, имеет единственное решение в области Res > 0, такое, что

В случае, если распределение времени обслуживания показательное, рассматриваемая система есть М|М|1 и преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения времени обслуживания имеет вид: При этом функциональное уравнение (1.82) переходит в квадратное уравнение для неизвестного преобразования Лапласа - Стилтьеса

Решая уравнение (1.85), получаем:

В этой формуле выбираем только знак чтобы полученное решение удовлетворяло условию Обращая теперь преобразование Лапласа - Стилтьеса получаем следующее выражение для производной функции распределения длины периода занятости системы М|М|1 :

где функция есть модифицированная функция Бесселя первого рода.

В общем случае уравнение (1.82) можно решать методом итераций, снабдив функцию индексом в левой части уравнения и индексом в правой части. Эта процедура имеет геометрическую скорость сходимости последовательности к значению при фиксированном значении аргумента

Кроме того, путем последовательного дифференцирования уравнения (1.82) с последующей подстановкой аргумента и учета свойства 5 преобразования Лапласа - Стилтьеса, можно получить рекуррентную последовательность формул для вычисления начальных моментов распределения длины периода занятости. Так, среднее значение длины периода занятости и второй начальный момент ее распределения определяются формулой:

Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента загрузки и приближением его значения к единице среднее значение периода занятости стремится к бесконечности.

Рассмотрим теперь другую характеристику функционирования системы MG1 - число запросов, обслуженных за период занятости. Обозначим

Утверждение 14. Производящая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Производящей функции придадим вероятностный смысл следующим образом. Каждый из запросов независимо от других назовем красным с вероятностью z и синим с дополнительной вероятностью. Произвольный запрос назовем темнокрасным, если он сам красный и за период занятости, порожденный им, в системе обслуживались только красные запросы. Введем событие А, состоящее в том, что запрос, с которого начинается период занятости, является темно-красным. Найдем вероятность этого события. С одной стороны, очевидно, что

С другой стороны, из проделанного выше анализа структуры периода занятости ясно, что для того, чтобы запрос был темно-красным, необходимо и достаточно, чтобы он сам был красным (вероятность этого равна z) и за время его обслуживания могли поступать только темно-красные запросы.

Так как поток запросов - простейший с параметром , а произвольный запрос является темно-красным с вероятностью , то поток нетемно-красных вызовов (как это следует из Утверждения 6) является простейшим с параметром Вспоминая вероятностную интерпретацию преобразования Лапласа - Стилтьеса, из приведенных рассуждений выводим следующую альтернативную формулу для вероятности события

Сравнивая формулы (1.90) и (1.91), убеждаемся в справедливости (1.89). Утверждение 14 доказано.

Уравнение (1.89) определяет единственную аналитическую в области функцию, такую, что

Следствие. Среднее число запросов, обслуженных в системе MG1 за один период занятости, задается формулой:

Приведем еще одно доказательство формулы Поллячека-Хинчина для производящей функции распределения вероятностей числа запросов в системе MG1 в моменты окончания обслуживания. Каждый из запросов, приходящих в систему, независимо от других назовем красным с вероятностью 2 и синим с дополнительной вероятностью. Введем событие А, состоящее в том что запрос, уходящий в данный момент окончания обслуживания из системы, сам красный и все запросы, остающиеся в системе в этот момент, тоже красные.

Из вероятностной интерпретации производящей функции очевидно следует, что:

где есть искомая производящая функция распределения вероятностей числа запросов в системе в моменты окончания обслуживания.

С другой стороны, для того, чтобы произошло событие А, необходимо и достаточно, чтобы все запросы, которые находились в системе в предыдущий момент окончания обслуживания (если система была непуста), были красными и за время обслуживания не пришли синие запросы, а если система была пуста, то первый пришедший запрос должен быть красным и за время его обслуживания не пришли синие запросы.

Из этих рассуждений следует, что:

Из соотношений этого соотношения и (1.92) очевидным образом следует формула Поллячека - Хинчина:

полученная нами ранее с помощью метода вложенных цепей Маркова.

В заключение подраздела найдем характеристики системы MG1 с дисциплиной LIFO.

Выше отмечалось, что распределение периода занятости системы M|G|1 не зависит от дисциплины обслуживания. Поэтому уравнение (1.82) определяет преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения периода занятости для всех дисциплин. Кроме того, несложно видеть, что и распределения числа запросов в системе MG1 при дисциплинах FIFO и LIFO совпадают и задаются формулой (1.81).

Распределение времени ожидания запроса при дисциплинах FIFO и LIFO различно. При дисциплине FIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса стационарного распределения времени ожидания задается формулой (1.52).

Утверждение 15. При дисциплине LIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса имеет следующий вид:

где функция является решением уравнения (1.82).

Доказательство. Введем поток катастроф и понятие «плохого» запроса, как это было сделано при доказательстве Утверждения 13. При этом функция есть вероятность того, что за время ожидания данного запроса не наступит катастрофа, а функция есть вероятность того, что произвольный запрос не является «плохим», то есть катастрофа не наступает за период занятости, порожденный этим запросом.

Учитывая сущность дисциплины LIFO и рассуждения, использованные при доказательстве Утверждения 13, получаем формулу:

где есть преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения остаточного (после момента поступления запроса, время ожидания которого мы исследуем) времени обслуживания запроса, находящегося на приборе.

По аналогии с функцией распределения F(t) остаточного времени до момента поступления запроса в рекуррентном потоке, приведенной в разделе 2, для функции распределения B(t) остаточного времени обслуживания имеем формулу:

Отметим, что эта функция уже использовалась в формуле Бенеша (1.54). Легко видеть, что преобразование Лапласа - Стилтьеса этой функции имеет вид:

Учитывая это, а также уравнение (1.82) и формулу из (1.94) получаем соотношение (1.93). Утверждение 15 доказано.

Замечание. Сравнивая формулы (1.52) и (1.93), заключаем, что распределения времени ожидания в системах с дисциплинами FIFO и LIFO - различные. При этом средние времена ожидания совпадают.