5.2.5 Частные случаи

Приведем теперь некоторые следствия и частные случаи полученного общего результата

Следствие 1. Для вероятностей состояний изолированных узлов рассматриваемых типов справедливы представления (5.3-5.6), где нагрузка изолированного узла определяется теперь формулой а величина представляет собой среднюю длительность обслуживания заявок в этом узле.

Доказательство очевидно.

Следствие 2. Для вероятностей макросостояний рассматриваемой сети справедливо мультипликативное представление

где - вероятность наличия заявок в сети, - соответствующая вероятность для узла, причем последние вероятности определяются соотношениями для узлов s типа 0

с

для узлов s типа 1

для узлов s типов 2 или 3

Доказательство получается простым интегрированием соответсвующих выражений (5.2-5.6) для вероятностей микросотояний по дополнительным переменным.

Рассмотрим теперь сеть, в которую поступают несколько J классов заявок, для различения которых используем их объемы так что характеристика заявки имеет вид . Обозначим через загрузку узла заявками класса. Справедливо

Следствие 3. Для вероятностей макросостояний сети рассматриваемого типа с несколькими классами заявок справедливо мультипликативное представление (5.14), где вероятности состояний узлов типа 0 имеют вид

с

а в формулах (5.17, 5.18) для вероятностей состояний узлов типов следует заменить на

Доказательство получается путем интегрирования в исходных формулах (5.3, 5.5, 5.6) с учетом разбиения заявок на классы.

Приведем теперь результаты для рассмотренных в разделе 3 частных случаев

Сеть Келли

Так как в сети Келли все узлы экпоненциальные, а объемы заявок постоянны и принимают одно из к возможных значений, то для сети Келли справедливо мультипликативное представление (5.14), где для распределения вероятностей состояний узлов имеет место

Следствие 4. Распределения вероятностей состояний узлов в сети Келли задается формулами (5.15, 5.16) с где теперь в отличие от того, как было указано ранее

среднее число посещений s-oгo узла заявками i-ого потока.

Доказательство очевидно.

Сеть Джексона

Следствие 5. Распределение вероятностей состояний сети Джексона имеет вид (5.14-5.16), где величина загрузки узлов определяется как и в сети Келли, а среднее число посещений узла определяется теперь соотношением

где вектор средних чисел посещения состояний до поглощения.

Для доказательства достаточно заметить, что согласно теории обрывающихся марковских цепей формула (5.21) определяет среднее число посещений различных состояний поглощающей марковской цепью с начальным распределением до поглощения ее поглощающим состоянием.

ВСМР-сеть

Аналогичный результат справедлив и для ВСМР-сетей

Следствие 6. Для распределения вероятностей состояний ВСМР-сети справедливо мультипликативное представление (5.14) с распределениями вероятностей состояний для узлов вида (5.15-5.18), где величина загрузки узлов определяется соотношением

где — средняя длительность обслуживания заявок потока в узле, а среднее число посещений узла заявками потока как и прежде, означает среднее число посещений узла заявками потока и вычисляется по формуле (5.21).

Доказательство получается подстановкой характеристик ВСМР-сети в общие формулы.

Зависимое обслуживание

При моделировании зависимого обслуживания для неэкспоненциальных узлов положим

Тогда справедливо

Следствие 7. Для распределения вероятностей состояний сети с зависимым обслуживанием заявок справедливо мультипликативное представление, для макросостояний определяемой формулами (5.14-5.18).

Доказательство как и ранее получается подстановкой характеристик такой сети в общие формулы (5.2-5.6).