2.2.4 Показатели качества функционирования однородных сетей

Как отмечалось в разделе 2.1, основной целью при использовании моделей сетей МО для анализа вычислительных систем и сетей является отыскание различных показателей качества функционирования или характеристик сетей МО. Одна из важнейших таких характеристик - распределение вероятностей состояний была рассмотрена в п. 2.2.3. Перейдем теперь к определению других вероятностных характеристик однородных экспоненциальных сетей МО, зависящих от нагрузки.

По аналогии с (2.17) маргинальное распределение числа сообщений в (граничном) центре определяется в виде

С учетом выражения (2.22) для нормализующей константы имеем

Маргинальное распределение в любом центре может быть получено путем перенумерации центров так, чтобы центр, представляющий интерес, стал граничным. Для полученной таким образом сети применяется выражение (2.25). Легко видеть, что для центра М, не зависящего от нагрузки выражение (2.25) преобразуется к виду (2.17). В этом случае при определении характеристик узлов с номерами не требуется дополнительной перенумерации.

Интенсивность выходящего потока сообщений (пропускная способность)из i-гo центра по определению равна среднему числу заявок, обслуженных в нем за единицу времени. Таким образом,

Из определения следует

Подставляя (2.27) и (2.25) в (2.26), получаем для

Для случая, когда интенсивность обслуживания в центре описывается выражением (2.3), производительность может быть определена через среднее количество занятых приборов в центре

где удовлетворяет следующему соотношению [3,91]:

Соотношение (2.30) позволяет определить характеристики занятости и пропускной способности для всех центров, если рассчитаны или измерены характеристики одного узла.

Из (2.29) и (2.30) устанавливается равенство нормализованных пропускных способностей для каждого центра

Из соотношения следует, что при один из центров, например окажется насыщенным, так что Очевидно, что пропускная способность этого центра при будет и значения для остальных центров сети могут быть определены из (2.31). Этот прием часто используется при исследовании некоторых асимптотических свойств замкнутых сетей массового обслуживания.

Математическое ожидание числа сообщений в центре с учетом выражения (2.25) имеет вид

Для узла, не зависящего от нагрузки, выражение, описывающее среднюю длину очереди в центре, упрощается:

В соответствии с формулой Литтла среднее время пребывания сообщений в центре обслуживания равно отношению средней длины очереди к средней интенсивности входящего потока. В стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности входящего, поэтому

Особый интерес для приложений представляет время цикла - среднее значение интервала времени между моментом выхода из центра до момента первого поступления указанного сообщения в этот центр . Если то величину можно интерпретировать как среднее число посещений сообщением центра между двумя последовательными посещениями центра. Следовательно, суммарное среднее время, проведенное сообщением за время цикла в центре, составляет Отсюда

При анализе вычислительных сетей выделенным центром обычно моделируют терминальный узел. В этом случае выражение (2.35) позволяет определить время реакции (ответа), измеряемое с момента нажатия на терминале клавиши «передача» до момента поступления на экран терминала ответного сообщения.

Подставляя в (2.35) выражение (2.34) и учитывая соотношение (2.31), которое в данном случае имеет вид получаем

Таким образом, время цикла однозначно определяется средней длиной очереди и производительностью центра.

В заключение отметим, что все рассмотренные характеристики замкнутых однородных экспоненциальных сетей МО выражаются через значения нормализующей константы, эффективные алгоритмы вычисления которой приводятся в главе 3.