2.1.1 Маршрутная матрица и потоки в сетях

Переход сообщения из одного центра после окончания обслуживания в нем в другой осуществляется в соответствии с заданным маршрутом, под которым понимается последовательность посещаемых сообщением центров сети. Маршрут сообщения по сети МО задается матрицей маршрутов Р, вид которой зависит от того, является ли сеть МО открытой или замкнутой. В открытую сеть МО сообщения поступают из внешнего источника и могут покидать сеть после завершения обслуживания. Если принять внешний источник за новый центр сети и обозначить индексом 0, то маршрут в открытой сети задается стохастической неразложимой матрицей где - соответственно вероятность поступления в центр сообщения из источника и вероятность покидания сообщением сети после окончания обслуживания в центре

- вероятность того, что сообщение, уходящее из центра, перейдет в центр Очевидно, что выполняется равенство , где (предположение не представляет практического интереса).

Входящий из источника в сеть поток сообщений определяется совместным распределением случайных величин где - моменты поступления сообщений Если случайные величины независимы в совокупности, то такой поток, как уже отмечалось в главе 1, называют потоком с ограниченным последействием и для его определения достаточно задать набор функций распределения

Важную роль в теории систем и сетей МО играет рекуррентный поток, для которого Очевидно, что частным случаем рекуррентного потока является пуассоновский поток, для которого где интенсивность потока может зависеть от общего числа сообщений N, находящихся в сети.

Для определения потоков, циркулирующих в стационарном режиме в открытой сети МО, введем коэффициенты передачи такие, что представляет собой общую интенсивность потока сообщений в центр сети . Легко видеть, что интенсивность складывается из интенсивности поступления сообщений в центр из источника и интенсивностей поступления из других центров . Таким образом, величины удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:

решение которой в силу предположения о том, что стохастическая матрица маршрутов Р является неразложимой, существует и единственно.

В замкнутой сети МО сообщения извне не поступают и не покидают сеть; количество сообщений, циркулирующих в ней, постоянно и равно N. Матрица Р, определяющая случайные маршруты движения сообщений, так же как и для открытой сети, предполагается стохастической и неразложимой, но не содержит в этом случае нулевых столбца и строки (источник сообщений отсутствует)и . Система линейных уравнений (2.1) преобразуется к виду

Число независимых уравнений в системе (2.2) на единицу меньше количества переменных, так что ее решение единственно с точностью до мультипликативной константы. Другими словами, если - решение системы уравнений (2.2), то при решением является и

Для отыскания однозначного решения системы уравнений (2.2) достаточно произвольно задать значение например положить . В этом случае величину можно интерпретировать как среднее число посещений сообщением центра между двумя последовательными посещениями им первого центра.

Пусть - поток, проходящий через центр ) в стационарном режиме. Тогда очевидное выражение связывает потоки, проходящие через и первый центры сети.