1.7 Многолинейные системы массового обслуживания

В предыдущем разделе мы не касались общей однолинейной СМО G|G|1, поскольку для нее не удается получить точных аналитических результатов даже для средних значений длины очереди и времени ожидания запросов в системе. Для этих величин получен лишь ряд оценок снизу и сверху, позволяющих приближенно вычислить их значение. Возможна довольно точная аппроксимация характеристик этой системы с помощью характеристик системы РНРН1, которая поддается аналитическому исследованию.

По аналогичной причине мы не касаемся систем типа GGn и MGn. Отметим, что средние характеристики последней системы, как правило, оценивают путем суммирования с некоторыми весами соответствующих известных средних характеристик для систем обслуживания типа ММn и MDn.

Система типа поддается аналитическому исследованию довольно легко при помощи метода вложенных цепей Маркова и результаты имеют форму, близкую к полученным для системы GIM1 в предыдущем разделе. Поэтому мы также не затрагиваем ее.

В подразделе 7.1 мы исследуем систему типа ММn и систему В подразделе 7.2 приведем результаты для системы типа ММn (системы Эрланга) и ее обобщения - системы MGn. В последнем подразделе 7.3 изучается система типа

1.7.1 Системы ММn и ММnm

Пусть имеется параллельных идентичных обслуживающих устройств (каналов) и бесконечный буфер для ожидания. Входящий поток является простейшим с интенсивностью , а время обслуживания запроса в канале имеет показательное распределение с параметром . Запрос, пришедший в систему и заставший хотя бы один канал свободным, немедленно занимает любой из свободных каналов и начинает обслуживаться. Если все каналы в момент поступления запроса заняты, он присоединяется к очереди. Из очереди запросы выбираются на обслуживание согласно дисциплины FIFO.

Рассмотрим случайный процесс - число запросов в рассматриваемой системе в момент Легко убедиться, что процесс является процессом гибели и размножения с параметрами:

Поэтому распределение вероятностей состояний процесса удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1.2),(1.3).

Интенсивности размножения и гибели в данном случае определяются следующим образом:

Тогда величины имеют вид

где

Параметр , характеризующий соотношение интенсивности входящего потока и суммарной интенсивности обслуживания всеми приборами, является коэффициентом загрузки системы.

Проверяя условие существования стационарного распределения процесса данное в Утверждении 9, легко убедиться, что стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе

существует, если выполняется условие:

Будем далее считать это условие выполненным.

Утверждение 16. Стационарные вероятности определяются следующим образом:

где

Справедливость формул (1.96), (1.97) следует непосредственно из Утверждения 9.

Следствие 1. Среднее число L запросов, находящихся в системе в произвольный момент времени, определяется следующим образом:

Следствие 2. Среднее число запросов, находящихся в очереди в произвольный момент времени, определяется следующим образом:

Следствие 3. Вероятность того, что произвольный запрос вынужден ждать обслуживания в очереди, вычисляется по формуле:

(1,100)

Формулу (1.100) иногда называют С - формулой Эрланга.

Функция стационарного распределения времени ожидания для данной системы определяется следующим образом:

(1.101)

Вывод последней формулы аналогичен выводу формулы (1.24). Среднее время ожидания W имеет вид:

(1.102)

Сравнивая формулы (1.99) и (1.102), замечаем, что для данной системы справедлив следующий вариант формулы Литтла:

Рассмотрим теперь кратко систему ММnm, в которой размер очереди ограничен числом Запрос, заставший все приборы и все места в очереди занятыми, покидает систему навсегда, не оказывая никакого влияния на ее дальнейшее функционирование.

Стационарные вероятности наличия в произвольный момент времени запросов в системе определяются формулами (1.96), в которых вероятность вычисляется следующим образом:

Величины определяются по формулам:

Функция стационарного распределения времени ожидания в данной системе вычисляется по схеме, приведенной в разделе 3, и представляет собой смесь эрланговских распределений со скачком в нуле.