1.5.3 Система с конечным числом источников

В разделе 2 введено понятие потока от конечного числа источников запросов. Рассмотрим кратко модель СМО, обслуживающую такой поток. Впервые эта модель была исследована Т. Энгсетом.

Имеется однолинейная СМО с буфером размера , на вход которой поступают запросы от идентичных источников. Любой источник находится в занятом состоянии (и, следовательно, не может генерировать запросы), пока его предыдущий запрос не обслужен прибором. Время обслуживания любого запроса от любого источника имеет показательное распределение с параметром . В свободном состоянии источник может сгенерировать следующий запрос через показательно распределенное с параметром время, после чего он переходит в занятое состояние.

Обозначим число запросов в системе (на приборе и в накопителе) в момент t. Этот процесс может принимать значения во множестве Нетрудно убедиться, что этот процесс является процессом гибели и размножения и ненулевые параметры: интенсивности рождения и интенсивности гибели - определяются следующим образом:

Из формулы (1.11) для стационарных вероятностей процесса гибели и размножения очевидным образом получаем следующие выражения для стационарных вероятностей числа запросов в рассматриваемой системе:

где вероятность находится из условия нормировки:

Используя формулы (1.30), (1-31), легко подсчитать среднее число запросов в системе и в очереди. Также можно подсчитать так называемый стационарный коэффициент готовности источника (вероятность того, что в произвольный момент времени источник готов сгенерировать запрос):