5.3 G-сеть с отрицательными заявками

Изучение G-сетей мы начнем с наиболее простого случая, когда дополнительный поток, поступающий в сеть, представляет собой лишь поток отрицательных заявок.

Мы назовем такую сеть базовой G-сетъю. Именно базовая G-сеть была впервые введена и изучена в работах Геленбе [199,201,202].

Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с М однолинейными узлами с накопителями неограниченной емкости. На узел извне поступает поток положительных (обычных) заявок интенсивности и пуассоновский поток отрицательных заявок интенсивности А. Все поступающие на сеть потоки заявок считаются независимыми. Длительности обслуживания положительных заявок в узле распределены экспоненциально с параметром . Отрицательная заявка, поступающая в некоторый узел сети, в котором имеется, по крайней мере, одна положительная заявка, мгновенно уничтожает (разрушает, удаляет из сети) одну из них (в предположении экспоненциального распределения времени обслуживания положительных заявок, если нас интересуют лишь процессы очередей в узлах, можно не заботиться о том, какая именно заявка уничтожается) и после этого сама сразу же покидает сеть, не получая в данном узле никакого обслуживания. Таким образом, в каждом узле сети могут обслуживаться (т.е.находиться на приборе и ожидать в очереди) только положительные заявки, поэтому в дальнейшем, говоря об обслуживании положительных заявок, мы иногда будем, для краткости, называть их просто заявками.

Положительная заявка, обслуженная на узле , с вероятностью направляется на узел j как положительная заявка, с вероятностью — как отрицательная заявка и с вероятностью Уходит из сети во внешнюю среду (узел 0).

Стохастическое поведение рассматриваемой сети МО описывается однородным марковским процессом над множеством состояний

Состояние означает, что в некоторый момент времени в узле 1 находится (положительных) заявок, в узле 2 находится заявок, и, наконец, в узле М находится км заявок.

Введем вектор . Также положим . Заметим, что представляют собой интенсивности суммарных пуассоновских потоков положительных и отрицательных заявок соответственно, поступающих в сеть извне (из узла 0).

И, наконец, введем матрицы с элементами соответственно, и, кроме того, положим Предполагается, что матрица Р неразложима.

Мы будем рассматривать стационарный режим функционирования сети.

Обозначим через интенсивности потоков положительных и отрицательных заявок соответственно, циркулирующих в сети. Интенсивности определяются следующей системой нелинейных уравнений:

где

Обозначим через стационарную вероятность состояния .

Теорема 1. Для G-сети с отрицательными заявками, если существует единственное положительное решение системы уравнений (5.23), такое, что выполняется условие

стационарное распределение марковского процесса представляется в мультипликативной форме

при этом

(5.27)

для всех

Доказательство этой теоремы, как и других приведенных ниже теорем, разбивается на несколько этапов. Сначала выписывается система уравнений равновесия (СУР) для марковского процесса, описывающего G-сеть. (Заметим, что для более сложных моделей G-сетей как раз этот этап может оказаться наиболее трудоемким, хотя и несложным по форме).

Затем осуществляется подстановка формул (5.26), (5.27) в СУР и доказывается, что в результате подстановки получается система тождеств. Далее, следуя, например, логике теоремы Фостера [184], и учитывая, что при выполнении условия (5.25) решение СУР в виде (5.26), (5.27) будет положительным и ограниченным, получаем, что это решение определяет единственное стационарное распределение марковского процесса .

Очевидно, что величина имеет вероятностный смысл и есть ничто иное, как вероятность того, что узел не пуст или же учитывая, что узлы сети являются однолинейными, есть коэффициент использования прибора узла .

Остается пока неясным вопрос о существовании решения системы нелинейных уравнений (5.23), (5.24). Этот вопрос мы подробно обсудим в разделе 5.4 для более общего случая G-сетей.