5.3.2 G-сеть с отрицательными заявками и триггерами

Мы уже указывали во введении, что воздействие внешней среды на процесс очереди положительных заявок может оказываться не только отрицательными заявками, которые просто уничтожают одну или более положительных заявок в данном узле, но и поступающими извне сигналами-триггерами, действие которых заключается в мгновенном перемещении положительной заявки из данного узла в некоторый другой узел. G-сеть с отрицательными заявками и триггерами была первоначально изучена в [205], а затем в [166,168,196] и с некоторыми дополнениями в [219].

Следуя [204,205], рассмотрим снова сеть с М однолинейными узлами с накопителями неограниченной емкости. На узел сети поступает пуассоновский поток положительных (обычных) заявок интенсивности Ада, и дополнительный поток сигналов, который также является пуассоновским интенсивности . Длительность обслуживания положительной заявки в узле также как и для ранее рассмотренных моделей, имеет экспоненциальное распределение с параметром После окончания обслуживания положительной заявки в узле она направляется в узел j с вероятностью снова как положительная заявка, с вероятностью как сигнал и с вероятностью уходит из сети. Пусть где, как и ранее, матрицы составлены из вероятностей и соответственно. Таким образом, в сети циркулируют не только положительные заявки, но и сигналы, при этом матрица Р управляет движением по сети как положительных заявок, так и сигналов.

Сигнал, поступающий в пустой узел (в котором нет положительных заявок), не оказывает на сеть никакого эффекта и сразу исчезает из нее. В противном случае, если узел j не пуст, когда в него поступает сигнал, то могут произойти следующие события:

— поступающий сигнал мгновенно перемещает положительную заявку из узла j в узел s с вероятностью в этом случае сигнал называют триггером; матрицу с элементами мы обозначим через ;

— или с вероятностью сигнал срабатывает как отрицательная заявка и уничтожает в узле j группу положительных заявок (процедура группового уничтожения описана в разделе 5.3.1); размер уничтожаемой группы является случайной величиной с распределением вероятностей

Заметим, что в некоторых работах (см., например, [220] ) понятие сигнала и триггера отождествляется. Ясно, что это лишь смешение терминов, однако этот факт нужно учитывать при изучении работ по G-сетям.

Предполагается, что матрицы Р и Q неразложимы. Это условие, необходимое для формулировки основного результата, физически означает, что положительная заявка, вошедшая в сеть, обязательно покинет ее, получив необходимое ей обслуживание (т.е. не подвергнувшись уничтожению отрицательной заявкой).

Функционирование G-сети с отрицательными заявками, триггерами и групповым удалением положительных заявок можно также описать однородным марковским процессом множество состояний которого имеет вид (5.22), при этом интерпретация физического смысла состояний процесса такая же как и выше в разделе 5.3.

Как обычно, мы рассматриваем стационарный режим функционирования сети МО.

Обозначим через , интенсивности потоков положительных заявок и сигналов, циркулирующих в сети. Тогда уравнения баланса, которым удовлетворяют интенсивности и имеют следующий вид:

где величина определяется как

а

Теорема 3. Для G-ceти с отрицательными заявками, триггерами и групповым удалением положительных заявок, если существует единственное положительное решение , системы уравнений (5.32), (5.33) такое, что то стационарное распределение процесса имеет мультипликативный вид:

где

для всех , а величина определяется формулой (5.33).

Также как и для ранее рассмотренных моделей G-сетей из теоремы 3 получаем, что величина есть стационарная вероятность того, что узел не пуст, или, что то же самое, — коэффициент использования прибора узла .