4.1.1 Аппроксимация функций распределения

Если функции распределения длительности обслуживания в центрах сети допускают рациональное преобразование Лапласа и обслуживание сообщений в центрах сети осуществляется в соответствии с дисциплиной PS, IS, или LCFS, то в соответствии с теоремой ВСМР стационарные вероятности состояний сети удовлетворяют мультипликативной форме и имеют вид (2.38).

Таким образом, один из способов приближенного исследования немарковских сетей МО состоит в аппроксимации произвольных функций распределения длительности обслуживания сообщений в центрах сети обобщенным распределением Кокса. Строгое обоснование возможности такой аппроксимации дается следующей теоремой.

Теорема. Пусть - произвольная функция распределения, подчиненная условию и Е - класс бесконечных смесей эрланговских распределений. Тогда для любых а и найдется такое распределение , что

Указанная теорема остается справедливой и при аппроксимации конечными смесями эрланговских распределений.

В практических приложениях обычно рассматривают две основные характеристики функции распределения: математическое ожидание и дисперсию (или коэффициент вариации ), где . Такое задание функции распределения обосновывается тем, что характеристики многих систем массового обслуживания определяются только первыми двумя моментами функции распределения длительности обслуживания (см. например, формулу Полячека-Хинчина для однолинейной системы ).

Покажем теперь, что аппроксимация функций распределения с заданными значениями может быть эффективно проведена при обобщенным эрланговским распределеним, а при гиперэкспоненциальным распределением второго порядка.

Рассмотрим частный случай распределения Кокса, преобразование Лапласа которого имеет вид:

где введено обозначение

Дифференцируя получаем:

Используя известное соотношение для определения начальных моментов распределения

находим

Подставляя (4.1) в выражение для коэффициентов вариации

имеем

Из последнего уравнения с учетом того, что находим искомое значение вероятности

Таким образом, при аппроксимация функций распределения может осуществляться обобщенным эрланговским распределением с параметрами и R, определенными выше. Интенсивность обслуживания на этапе находится из выражения для

При аппроксимацию удобно проводить с помощью гиперэрланговского распределения, используя для этого его обычное представление параллельными этапами. Рассмотрим гиперэрланговское распределение второго порядка с числом этапов и плотностью распределения Принимая и осуществляя преобразования, аналогичные рассмотренному выше случаю получаем:

Отсюда легко находим:

Чтобы выполнялось условие (4.2), положим

Подставляя (4.3)-(4.5) в выражение для коэффициента вариации (4.2) и решая соответствующее квадратное уравнение, получаем

Так как сумма корней , то можно использовать любой из них.

Таким образом, обобщенное эрланговское и гиперэкспоненциальное распределения полностью определяются первыми двумя моментами и перекрывают весь диапазон значений коэффициентов вариации от 0 до 1 и от 1 до

В заключение отметим, что рассмотренный способ аппроксимации функций распределения длительности обслуживания в центрах сети приводит к значительному увеличению пространства состояний сети МО и, следовательно, может быть использован лишь для сетей небольшой размерности.