4.3 Декомпозиция разомкнутых сетей массового обслуживания на уровне первых моментов

4.3.1 Уравнения баланса потоков и дисперсий

В основе рассматриваемого метода декомпозиции разомкнутых однородных сетей МО лежат следующие два предположения: потоки, циркулирующие в сети, взаимно независимы; функции распределения интервалов времени между последовательными поступлениями сообщений в центры и времени обслуживания определяются первыми двумя моментами. В рамках сделанных предположений формулируется и решается основная задача декомпозиционной аппроксимации - составление и решение систем уравнений относительно первых двух моментов (математического ожидания и дисперсии ) распределения интервалов времени между сообщениями в потоках, циркулирующих по сети.

Значения легко определяются непосредственно из уравнений баланса потоков в центрах:

где - интенсивность потока сообщений в центр из источника (см. раздел 2.1); - элементы матрицы маршрутов.

Перейдем к определению дисперсии интервалов времени между сообщениями в выходных потоках. С этой целью рассмотрим два последовательных момента окончания обслуживания сообщений в центре. Величина существенно зависит от состояния центра в моменты окончания обслуживания. Если в момент в центре имеется хотя бы одно сообщение, ожидающее обслуживания, то величина Д равна времени обслуживания очередного сообщения. Если в момент в центре отсутствуют сообщения, то Д складывается из времени обслуживания и времени до поступления очередного сообщения (остаточного времени). Обозначим: - вероятность того, что в момент окончания обслуживания в центре отсутствуют сообщения; - среднее значение и дисперсия остаточного времени. Тогда для , получим:

(4.11)

где - соответственно среднее значение и дисперсия интервалов времени между сообщениями входного потока центра; и - среднее значение и дисперсия времени обслуживания сообщений в центре . Заметим, что в стационарном режиме

где - вероятность отсутствия сообщений в центре. С учетом этих соотношений из (4.12) следует, что зависит от двух неизвестных параметров или

Дополним (4.12) уравнениями преобразования дисперсии

для суммы двух независимых потоков и

для просеянного потока (Р - вероятность покидания сообщением потока)

Формулы (4.12), (4.13) позволяют получить систему уравнений баланса дисперсий потоков, аналогичную уравнениям (4.10):

где - дисперсия интервалов времени между соседними сообщениями потока, поступающего в центр.