4.2 Декомпозиционные методы на основе теоремы Нортона

4.2.1 Теорема Нортона для анализа замкнутых и разомкнутых локально-сбалансированных сетей массового обслуживания

Рассмотрим однородную сеть МО с М центрами обслуживания, удовлетворяющую условиям локального баланса и вероятностями перехода, задаваемыми матрицей маршрутов

Пусть - относительная интенсивность потока сообщений в центре, удовлетворяющая векторному уравнению Как отмечалось в предыдущих главах, определяется абсолютной интенсивностью поступления сообщений в разомкнутую сеть; в замкнутой сети решение векторного уравнения единственно с точностью до мультипликативной константы.

Декомпозиция такой сети на основе теоремы Нортона (название дано по аналогии с известным результатом в электрических цепях) позволяет свести исходную сеть МО к эквивалентной с двумя центрами обслуживания. При этом первый центр двухузловой сети совпадает с центром исходной сети , а второй (композиционный), являющийся эквивалентом оставшейся части сети, обладает экспоненциально распределенным временем обслуживания с параметром зависящим от числа сообщений в нем.

Теорема. Маргинальное распределение числа сообщений в центре исходной сети совпадает с соответствующим распределением эквивалентной сети, если параметр композиционного центра равен интенсивности поступления сообщений в центр исходной сети, в которой

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рассмотрим более подробно применение этой теоремы для замкнутой сети МО (рис. 4.1). Для вычисления статистических характеристик центра сети на рис. 4.1 подсеть В заменяется композиционным центром (рис. 4.2).

Рис. 4.3

Интенсивность обслуживания сообщений композиционным центром определяется подсетью В, совпадающей с сетью на рис. 4.1 во всем, за исключением того, что вместо центра вводится прямое соединение - центр закорачивается (рис. 4.3). Интенсивность устанавливается равной производительности замкнутой подсети В. Таким образом, для полного определения эквивалентной сети необходимо вычислить (аналитически или с помощью имитационной модели) или измерить производительности подсети В, в которой циркулируют сообщений.

Для однородной замкнутой локально-сбалансированной сети МО с произвольной структурой алгоритм вычисления интенсивности включает следующие шаги.

Шаг 1. Инициализация: где функции определены в п. 2.2.1.

Шаг 2. Цикл по и по для вычисления правого граничного столбца нормализующей константы подсети В с элементами , где

Шаг 4. Вычисление интенсивности обслуживания композиционного центра по формуле .

Теорема Нортона остается справедливой и для неоднородных локально-сбалансированных сетей МО.

Для замкнутой сети МО с классами сообщений в этом случае с целью построения эквивалентной сети должны быть вычислены для всех производительности подсети В. В разомкнутой сети все центры, за исключением рассматриваемого центра, заменяются одним композиционным пуассоновским источником, который генерирует сообщения всех классов. Каждый класс генерируется независимо, и интенсивность потока класса сообщений , поступающего из композиционного источника, устанавливается равной производительности подсети В.