4.3.2 Диффузионная аппроксимация системы МО GI/G/1

Как уже отмечалось, значения зависят от неизвестных параметров Для определения этих параметров через известные характеристики функции распределения длительности обслуживания и параметры входного потока центра используем метод двумерной диффузионной аппроксимации [92].

Рассмотрим двумерный диффузионный процесс где аппроксимируют на период занятости соответственно число сообщений поступивших и покинувших центр обслуживания к моменту t. Таким образом, текущее значение - число сообщений, находящихся в центре, - определяется разностью , где - целая часть

Для процессов в области рассмотрим моменты t первого достижения ординатой процесса целочисленного уровня при начальном условии (приращение Из теории случайных процессов известно, что плотность распределения времени t имеет вид

где - соответственно коэффициенты скоса и диффузии процессов

С помощью табличного интеграла

где - функция Макдональда порядка могут быть вычислены математическое ожидание и дисперсия распределения (4.15).

Потребуем, чтобы компоненты двумерного диффузионного процесса в моменты первого прохождения целочисленного уровня имели средние значения и дисперсии, совпадающие соответственно со средними значениями и дисперсиями компонент дискретного процесса Тогда можно выразить коэффициенты скоса и диффузии через среднее значение и дисперсию интервала времени между скачками дискретного процесса .

В области В, определенной условием плотность распределения диффузионного процесса удовлетворяет уравнению Колмогорова

Так как период занятости начинается с уровня то начальным условием для уравнения (4.16) будет где - дельта-функция Дирака.

Рассматривая функционирование СМО только на периоде занятости, к уравнению (4.16) добавим граничное условие поглощения Граница Г, определенная условием имеет ступенчатый характер (см. рис. 4.5) и физически означает завершение периода занятости в момент достижения процессом границы Г. Распределение ординаты процесса в момент достижения процессом границы Г позволяет определить все характеристики функционирования центра.

Решение уравнения (4.16) в области В заменим совокупностью решений в подобластях Обозначим через распределение ординаты процесса в момент прохождения процессом границы области и через распределение ординаты процесса в момент достижения границы той же области. Рассмотрим состояние центра с момента поступления сообщения в центр до момента окончания периода занятости Вследствие марковского характера рассматриваемых процессов начальным условием для решения уравнения (4.16) в области будет распределение получаемое на предшествующем шаге.

Рис. 4.5

Выведем теперь рекуррентные формулы для определения плотностей распределений ординаты процесса в момент прохождения процессом границы области BR и ординаты процесса в момент достижения границы той же области Для этого рассмотрим величину равную интегральному значению компоненты вектора потока вероятностей

через площадку границы :

Решение уравнения (4.16) в области в которой - случайная величина с распределением при нулевых граничных условиях может быть получено с помощью функции Грина

Здесь два первых сомножителя представляют собой фундаментальное решение уравнения (4.16), а два последних - нулевые граничные условия при Решение будет выражаться через функцию следующим образом:

Отсюда, учитывая выражение для приходим к рекуррентной формуле для определения

где

Аналогичные случаи приводят к следующему выражению:

где

Определим теперь параметры двумерного диффузионного приближения необходимые для вычисления характеристик выходного потока из СМО. Плотность распределения вероятностей ординаты процесса в момент достижения процессом границы Г позволяют определить остаточное время ожидания При известном значении (см. рис. 4.5) ордината процесса должна получить приращение для того, чтобы процесс изменился на единицу (поступление очередного сообщения в свободный центр). Условное распределение времени достижения уровня процессом имеет вид

с параметрами - соответственно среднее значение и дисперсия времени между соседними сообщениями во входном потоке).

Обозначим

математическое ожидание и дисперсию распределения Тогда искомые параметры:

выражаются через параметры входного потока сообщений в центр и распределения

Учитывая, что в стационарном режиме интенсивности входного и выходного потоков совпадают, из выражений следует

После подстановки (4.17), (4.18) в выражение (4.12) получим окончательно

где - второй начальный момент распределения

Теперь можно найти все основные характеристики рассматриваемой разомкнутой сети МО. Рассмотрим вначале характеристики одного центра сети. Из определения следует, что величина выражает среднее количество заявок, прошедших через центр за период занятости. Тогда средняя длина периода занятости Y в СМО может быть получена через параметр следующим образом:

где - среднее время обслуживания сообщения в центре. Из соотношений (4.17) и (4.19) следует, что средняя длина периода простоя

где - среднее интервалов времени между соседними заявками во входном потоке.

Среднее время ожидания может быть выражено через первые два начальных момента распределения случайной величины I [89]:

Определим математическое ожидание квадрата случайной величины I. Для этого заметим, что откуда, учитывая (4.18), получаем

Подставляя (4.21) в (4.20), окончательно имеем

Из этого выражения по формуле Литтла легко определяются средняя длина очереди и среднее количество сообщений в центре.

Зная характеристики отдельных центров сети, нетрудно рассчитать характеристики всей сети в целом. Например, среднее время пребывания сообщений в сети имеет вид Аналогично определяются другие характеристики сети.