3.2.2 Маргинальное распределение длины очереди и пропускная способность

Маргинальное распределение длины очереди сообщений класса центре определяется из выражения

Распространяя определение вспомогательной функции на сети МО с несколькими классами сообщений, получаем

Тогда маргинальное распределение (2.27) можно переписать в виде

Теперь необходимо получить рекуррентное соотношение для вычисления Из условия нормировки

и формулы (3.29) следует

или

Значения вспомогательной функции рассчитываются рекуррентно с начальным условием .

Как обычно, упрощения имеют место в том случае, когда центр не зависит от нагрузки или состоит из нескольких одинаковых обслуживающих приборов. Для центра, не зависящего от нагрузки,

Если центр i содержит приборов,

Таким образом, маргинальное распределение длины очереди сообщений класса центре можно определить из следующего выражения:

Переходя к отысканию выражения для пропускной способности центра для сообщений класса, отмечаем, что при определении вероятности не учитывается порядок расположения сообщений в центре. Для расчета пропускной способности необходимо знать вероятность того, что центр занят сообщениями класса. Именно поэтому в формуле для расчета пропускной способности

появляется сомножитель . Подставляя в последнее выражение значение из (3.30), получаем

Из (3.22) легко получить, что

Следовательно, при дисциплине обслуживания FCFS, PS и LCFS в центре

Аналогично легко проверить, что формула (3.32) справедлива и при дисциплине обслуживания IS в центре . Выражение (3.32) является многомерным аналогом формулы (2.28) для расчета пропускной способности центра однородной замкнутой сети МО.

Для центра, не зависящего от нагрузки, пропускная способность равна произведению загрузки на интенсивность обслуживания, поэтому

Загрузку центра, зависящего от нагрузки, следует рассчитывать в соответствии с определением как вероятность занятости центра:

В заключение приведем полезное рекуррентное соотношение для маргинального распределения длины очереди, используемое в методе анализа средних значений. Когда интенсивность обслуживания центра зависит от нагрузки, из (3.30) и (3.25) имеем

Перепишем это выражение в виде

С учетом (3.32) получим окончательно

Аналогично для центра с дисциплиной обслуживания FCFS, ICFS или PS может быть получено рекуррентное соотношение для маргинального распределения общей длины очереди (без учета классов)

Подставляя сюда (3.33), имеем