3.1.3 Аналитическое представление нормализующей константы

Для некоторых частных случаев однородных замкнутых сетей МО может быть получен явный аналитический вид нормализующей константы, что часто позволяет упростить и ускорить вычисление нормализующей константы и соответственно других характеристик сети.

Пусть сеть МО состоит из М однолинейных центров типа FCFS, PS, LCFS, обозначенных номерами и центров типа IS с номерами . Тогда в соответствии с (2.12) стационарное распределение вероятностей состояний рассматриваемой сети имеет вид 1

Обозначим через количество сообщений в центрах с номерами . С учетом этих обозначений выражение (3.11) преобразуется к виду

где и нормализующая константа

Прежде чем переходить к выводу явного вида аналитического выражения для нормализующей константы рассмотрим предваритетельно замкнутую сеть МО, в которой присутствуют центры с номерами (т. е. центры типа ).

Нормализующая константа такой сети описывается выражением

Пусть в рассматриваемой сети могут быть выделены групп, каждая из которых содержит обслуживающих центров с одинаковыми значениями . Тогда явный вид нормализующей константы описывается следующим выражением:

где

В частном случае, когда сеть состоит из одинаковых или разнотипных центров выражение (3.14) упрощается:

где

Для доказательства утверждения (3.14) введем функцию

Разлагая на простые дроби, получаем

где - константы, подлежащие определению.

Из выражения (3.13) следует, что равна коэффициенту при в разложении и имеет вид

Для отыскания коэффициентов обозначим

Из (3.15) и (3.16) следует, что

Теперь значение может быть определено через следующим образом:

Из (3.18) следует

Подставляя (3.17) в последнее выражение при получаем

После подстановки в (3.20) формулы (3.19) и упрощений получаем окончательно

что завершает доказательство утверждения.

Вернемся теперь к выводу явного аналитического выражения для нормализующей константы Как легко видеть, из формулы (3.12) следует

Подставив (3.14) в последнее выражение и изменив порядок суммирования, получим

В частных случаях, когда все одинаковы или различны, последнее выражение упрощается. Например, для случая, когда все различны,

Используя явный вид выражений для нормализующей константы и формулы раздела 2.2 для расчета различных характеристик сети, можно получить простые аналитические выражения для соответствующих характеристик сети. Например, средняя длина очереди в центре сети, в которой отсутствуют центры типа IS и все различны, описывается следующим выражением:

Аналитические выражения позволяют в некоторых случаях значительно сократить количество арифметических операций при вычислении нормализующей константы по сравнению с методом Бузена.

Проиллюстрируем это на примере сети с одинаковыми значениями . В этом случае

Переписав это выражение в рекуррентном виде, получим:

Отсюда следует, что количество арифметических операций, необходимых для вычисления , не зависит от числа центров в сети М и составляет что значительно меньше, чем при использовании алгоритма Бузена.