5.5 G-сеть со случайным временем активизации сигналов

В предыдущих разделах мы рассматривали G-сети с сигналами (которые могли быть либо отрицательными заявками, либо триггерами), действие которых проявлялось мгновенно, т.е. время активизации любого сигнала равнялось нулю и поэтому не принималось в расчет при построении математической модели G-сетей.

В этом разделе мы будем предполагать, что поступающий в узел сети сигнал активизируется не сразу, а лишь по истечении случайного времени. Аналогичная сеть с однолинейными узлами (в общих предположениях относительно времени обслуживания положительных заявок) была рассмотрена в [163] с использованием понятия квазиобратимости [296], однако приведенные в [163] формулы для мультипликативного решения некорректны. Ниже мы приведем результаты [10,148] для G-сети со случайной задержкой сигналов для случая однолинейных узлов с экспоненциально распределенными длительностями обслуживания положительных заявок и марковского обслуживания сигналов, показывающие, что мультипликативное решение имеет иной по сравнению с [163] вид.

В [10,148] также показано, что мультипликативное решение имеет место и при общем марковском обслуживании положительных заявок в узлах, но лишь для случая симметричной сети.

Итак, рассмотрим снова открытую сеть МО с М узлами неограниченной емкости, в которой извне (из узла 0) на узел сети поступает пуассоновский поток положительных заявок интенсивности и пуассоновский поток сигналов интенсивности А. Все поступающие на узлы сети потоки заявок и сигналов предполагаются независимыми.

Вероятность того, что положительная заявка обслужится в узле за время , если в данном узле в момент t имеется к заявок, равна Положительная заявка, обслуженная на узле , с вероятностью направляется на узел j снова как положительная заявка, с вероятностью — как сигнал и с вероятностью покидает сеть (уходит в узел 0).

Каждый поступающий сигнал активизируется в течение некоторого случайного интервала времени. При этом вероятность того, что поступивший в узел сигнал активизируется за время при условии, что в этом узле в момент t имеется неактивизированных сигналов, равна По истечении времени активизации:

либо с вероятностью сигнал срабатывает как триггер, перемещая одну положительную заявку с узла на узел j, при этом данная заявка остается положительной;

либо с вероятностью сигнал снова срабатывает как триггер, перемещая одну положительную заявку с узла на узел j, но при этом данная заявка в узле j становится сигналом;

либо с вероятностью сигнал срабатывает как отрицательная заявка, которая, уничтожив одну положительную заявку в узле , покидает сеть.

Заявка, перемещенная из узла в узел j (как положительная заявка или сигнал), прекращает свое обслуживание в узле .

Если после активизации сигнала в узле отсутствуют положительные заявки, то данный сигнал уходит из сети, не оказывая никакого эффекта на функционирование сети в целом.

Введем матрицы с элементами соответственно, , и, кроме того, положим и

Будем предполагать, что матрицы Р и Q неразложимы.

Стохастическое поведение рассматриваемой G-сети описывается однородным марковским процессом над множеством состояний

Состояние означает, что в некоторый момент времени в узле 1 находятся положительных заявок и (неактивизированных) сигналов, в узле 2 находятся заявок и сигналов, и, наконец, в узле М находятся км заявок и сигналов.

Введем векторы и и положим

Обозначим через и интенсивности суммарных пуассоновских потоков положительных заявок и сигналов соответственно, поступающих в сеть извне.

Как и ранее, будем рассматривать стационарный режим работы сети МО. Обозначим через стационарную вероятность состояния .