2.3 Сети массового обслуживания с несколькими классами сообщений

Рассмотренные в предыдущем разделе однородные экспоненциальные сети МО обладают рядом ограничений, которые в значительной мере сужают область их практического применения. К их числу относятся: во первых, предположение об экспоненциальном распределении длительности обслуживания сообщений в каждом центре; во вторых, ограничение на дисциплину обслуживания в центрах, которое предусматривает обслуживание по принципу FCFS; в-третьих, предположение о статистической однородности сообщений, циркулирующих в сети.

В настоящем разделе перейдем к описанию сетей МО, в которых сняты все упомянутые выше ограничения, - смешанных сетей МО с несколькими классами сообщений и широким набором дисциплин обслуживания в центрах. Для таких сетей будет сформулирован один из наиболее общих результатов теории сетей МО, известный под названием теоремы ВСМР.

2.3.1 Описание смешанной сети

Смешанная сеть МО состоит из конечного числа М центров обслуживания, между которыми в соответствии с маршрутной матрицей Р циркулирует R различных классов сообщений. При переходе из одного центра в другой сообщения могут изменять класс так, что сообщение класса может стать сообщением класса . Сети МО с несколькими классами сообщений и возможностью перехода из одного класса в другой, являющиеся естественным теоретическим обобщением однородных сетей МО, позволяют более точно отражать информационные процессы в вычислительных сетях. Например, в диалоговых вычислительных системах сообщение-запрос, обработанное в центральной ЭВМ, переходит в сообщение-ответ, длина которого отлична от длины входного сообщения.

Маршрут смешанной сети с несколькими классами задается матрицей где - вероятность того, что требование класса, закончившее обслуживание в центре, перейдет в центр и станет сообщением класса.

На парах определяется марковская цепь с матрицей переходов Р, которую можно разложить на L эргодических непересекающихся подцепей, множество состояний каждой из которых

Пусть - число сообщений класса в центре в состоянии сети - соответственно число сообщений в подцепи и в сети МО в состоянии п. Тогда, очевидно, выполняются соотношения

причем, если при , рассматриваемая сеть является замкнутой.

Входящий поток, поступающий в разомкнутую сеть из внешнего источника, может быть задан различными способами. В первом случае из источника поступает один пуассоновский поток, интенсивность которого является функцией общего числа сообщений в сети при ее состоянии п. Входящее в сеть сообщение поступает в центр и становится сообщением класса с вероятностью не зависящей от состояния сети. Во втором случае имеется L пуассоновских входящих потоков сообщений, поступающих в соответствующие подцепи.

Интенсивность потока является функцией числа сообщений в подцепи . Выходящее из источника сообщение потока с вероятностью поступает в центр и становится сообщением класса, если и

В открытой сети МО требование класса , закончившее обслуживание в центре, покидает сеть с вероятностью

Для произвольной подцепи по аналогии с (1.3) справедлива следующая система уравнений:

где - относительная интенсивность потока сообщений класса , проходящего через центр . Если для всех то сеть замкнута по отношению к подцепи . В этом случае определяются с точностью до мультипликативной константы [см. 2.4]. Если хотя бы для одной пары , то определяется однозначно.

Для завершения описания смешанной сети МО остается задать дисциплину и механизм обслуживания в центрах сети. Будем полагать, что сеть состоит из центров следующих четырех типов.

Центр типа 1. Обслуживание сообщений в центре осуществляется в соответствии с дисциплиной FCFS. Длительность обслуживания сообщений всех классов имеет одно и то же экспоненциальное распределение с интенсивностью номер данного центра в сети зависящей от числа сообщений в центре . Состояние центра определяется вектором , где - номер класса сообщения, стоящего очереди

Центр типа 2. Обслуживание сообщений в однолинейном центре осуществляется в соответствии с дисциплиной PS (разделение процессора). Длительность обслуживания сообщения класса, распределена по закону Кокса с параметрами и средним

где - вероятность того, что сообщение класса достигает стадии обслуживания в узле.

Состояние центра определяется вектором где - вектор ), l-я координата которого означает число сообщений класса в центре, которые находятся на этапе обслуживания. Число сообщений класса в центре составляет а общее число сообщений в центре Таким образом, скорость завершения обслуживания сообщения класса, находящегося на этапе в состоянии центра, равна . После завершения обслуживания сообщение покидает центр с вероятностью и переходит к следующей стадии с вероятностью

Центр типа 3. Многолинейный центр с числом обслуживающих приборов, равным или большим максимального количества сообщений в этом центре, и дисциплиной обслуживания IS (обслуживанием без ожидания). Состояние центра и распределение длительности обслуживания, имеющее рациональное преобразование Лапласа, описываются так же, как и для центра второго типа.

Центр типа 4. Однолинейный центр с дисциплиной обслуживания LCFS («последним пришел - первым обслужен»). Так же, как для узлов второго и третьего типов, распределение длительности обслуживания имеет рациональное преобразование Лапласа и может отличаться для сообщений разных классов. Состояние центра определяется вектором , где - число сообщений центре, - пара, характеризующая сообщение, стоящее в очереди, при дисциплине обслуживания LCFS, - номер класса сообщения и - номер прерванного этапа обслуживания. Обслуживание прерванного сообщения начинается с того этапа, на котором оно было прервано.