1.7.3 Система ММоо

Пусть система имеет бесконечное число параллельных идентичных обслуживающих устройств (каналов), то есть, любой запрос, пришедший в систему, немедленно начинает обслуживаться.

Входящий поток является простейшим с интенсивностью , а время обслуживания запроса в канале имеет показательное распределение с параметром

Исследование такой системы представляет интерес с нескольких точек зрения. Во-первых, при небольшой интенсивности входящего потока и большом (но конечном) числе каналов практически невозможна одновременная занятость всех каналов и поэтому число каналов можно считать бесконечным. Поэтому данная модель может служить для аппроксимации модели с большим числом каналов. В-вторых, эта модель является одной из немногих, для которых нестационарное распределение вероятностей числа запросов в системе удается получить в относительно простой форме, благодаря чему эту систему иногда называют простейшей СМО.

Рассмотрим случайный процесс - число запросов в рассматриваемой системе в момент . Этот процесс является процессом гибели и размножения с параметрами:

Обозначим . Учитывая, что интенсивности размножения , и интенсивности гибели для рассматриваемого процесса имеют вид: можно записать систему линейных дифференциальных уравнений (1.2), (1.3) для вероятностей в следующем виде:

(1.107)

Поскольку нас интересует нестационарные распределение вероятностей, мы должны зафиксировать начальное состояние СМО. Предположим, что в момент времени 0 в системе обслуживалось к запросов. Тогда начальное условие для системы (1.106), (1.107) имеет вид

(1.108)

Для решения системы (1.106), (1.107) введем в рассмотрение производящую функцию

Умножая уравнения системы (1.106), (1.107) на соответствующие степени 2 и суммируя, получаем следующее уравнение в частных производных первого порядка:

(1.109)

Начальное условие (1.108) переходит в условие

(1.110)

Кроме того, из условия нормировки получаем следующее краевое условие:

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решением системы (1.106), (1.107) с начальным условием (1.110) и краевым условием (1.111) является функция:

где

Таким образом, нами доказано следующее

Утверждение 18. Производящая функция нестационарного (зависящего от t) распределения вероятностей состояний рассматриваемой СМО при начальном состоянии системы задается формулой (1.112).

Следствие 1. Среднее число L запросов в системе в момент времени t при начальном состоянии системы задается формулой:

Следствие 2. Стационарное распределение вероятностей рассматриваемой СМО

имеет вид:

(1.113)

то есть, оно подчиняется закону Пуассона с параметром .

Доказательство. Устремляя в (1.112) t к получаем выражение Разлагая эту функцию в ряд Маклорена, получаем (1.113).

Следствие 3. Если начальное состояние СМО не зафиксировано, а выбирается случайно в соответствии с некоторым распределением вероятностей и в качестве этого распределения взято стационарное распределение (1.113), то

для любого значения

Приведем теперь два обобщения Утверждения 18.

Пусть - вероятность того, что в момент t в системе находится запросов и j запросов уже обслужилось за интервал времени при условии, что в момент времени 0 в системе находилось к запросов. Обозначим

Утверждение 19. Производящая функция определяется формулой:

Пусть теперь время обслуживания запросов имеет произвольное распределение с конечным средним значением

Утверждение 20. Производящая функция нестационарного (зависящего от распределения вероятностей состояний СМО MGoo при начальном состоянии системы — к задается формулой:

где а функция B(t) имеет вид (1.95).

Вывод этой формулы принадлежит Риордану и Бенешу.

В заключение исследуем более общую бесконечно-линейную СМО у которой интенсивность входящего потока зависит от числа запросов, находящихся в системе, Будем считать, что а функция распределения времени обслуживания имеет плотность определяемую как: При поступлении нового запроса, когда в системе уже обслуживается запросов, производится перенумерация занятых каналов, причем новый запрос будет обслуживаться в канале с номером с вероятностью

При завершении обслуживания запроса в канале с номером j происходит перенумерация каналов с номерами, большими j, путем уменьшения их номера на единицу.

Пусть есть число запросов в системе в момент времени t, a Q есть остаточное время обслуживания в канале с номером Процесс является марковским.

Обозначим

Через обозначим плотность распределения

Используя можно получить следующую систему уравнений для вероятности и плотностей

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение этой системы имеет вид:

Стационарные вероятности системы определяются как:

а вероятность находится из условия нормировки.