2.2.3 Сети, зависящие от нагрузки
Перейдем теперь к рассмотрению более общего класса открытых и замкнутых сетей МО, зависящих от нагрузки, для которых предполагается, что интенсивность входного потока и интенсивность обслуживания в центрах являются соответственно произвольными функциями числа сообщений в сети и в центрах обслуживания. Для исследования характеристик таких сетей МО будет использоваться техника составления уравнений локального баланса.
Стационарные вероятности состояний замкнутой однородной экспоненциальной сети, зависящей от нагрузки, удовлетворяют следующей системе линейных разностных уравнений:
которая выводится так же, как система уравнений (2.5). Здесь 
- символ Кронекера (
при 
— в противном случае). Подставляя в (2.18) уравнение (2.2), записанное в виде 
, получаем 
Очевидно, что уравнение глобального баланса (2.19) выполняется, если выражение, стоящее в фигурных скобках, равно нулю:
Таким образом, уравнение (2.20), которое называют уравнением локального баланса, является достаточным (но не необходимым) условием глобального баланса (2.19). Из рекуррентного уравнения (2.20) непосредственно следует, что стационарные вероятности 
имеют следующий вид:
где введено обозначение
а нормализующая константа 
определяется из условия нормировки
и равна
Таким образом, опять получено решение, имеющее мультипликативную форму. Легко видеть, что если функция 
определяется выражением (2.3), то формула (2.21) преобразуется к виду (2.15).
Для открытой сети МО с интенсивностью входного потока 
стационарные вероятности 
определяемые с помощью рассуждений, аналогичных выводу формул (2.5), (2.18), имеют вид
где обозначено 
— соотносительные интенсивности потоков 
, входящих в 
удовлетворяют системе линейных уравнений (2.1):
Стационарное распределение 
существует и единственно, если сходится ряд
В частном случае, когда интенсивность входного потока не зависит от числа сообщений в сети и равна 
, имеем
В этом случае (2.23) преобразуется к виду
Здесь 
- стационарная вероятность того, что в 
центре, рассматриваемом изолированно, находится 
сообщений:
Выражение (2.24), известное под названием теоремы разложения Джексона, показывает, что рассматриваемая сеть является совокупностью независимых центров обслуживания с пуассоновскими входящими потоками с параметрами 
и зависящими от длины очереди интенсивностями обслуживания 
.
Таким образом, для открытых и замкнутых экспоненциальных сетей решение имеет мультипликативную форму, допускающую декомпозицию сети на изолированные центры. Полученный результат является нетривиальным, так как потоки в открытых и замкнутых экспоненциальных сетях МО с произвольной маршрутной матрицей не пуассоновские [27,89,246]; он имеет решающее значение для разработки эффективных вычислительных алгоритмов.
