6.2.1 Анализ межконцевых задержек

Для построения модели сети МО, описывающей функционирование базовой сети, которая включает М каналов передачи данных и W узлов коммутации пакетов, необходимо ввести ряд упрощающих предположений.

Первое из них - предположение о независимости - позволяет устранить зависимость между временами обслуживания в каналах и состоит в том, что длина пакета, поступающего в канал, выбирается независимо в соответствии с плотностью распределения

где - средняя длина пакета, измеряемая в битах (байтах).

Процесс поступления пакетов в сеть является пуассоновским с параметром , где - номер пары узел-источник - узел-адресат. Все пары упорядочены в соответствии с номерами . Маршрут пакетов класса (передаваемых в ) паре источник-адресат) определяется матрицей где - вероятность того, что пакет класса, закончивший обслуживание в канале, поступит потом в канал .

Различные способы задания матрицы определяют тип маршрутизации пакета в базовой сети. Например, при использовании постоянных виртуальных соединений и фиксированной маршрутизации соответствующие элементы принимают лишь два значения: 0 и 1. В рассматриваемой модели также предполагается, что объемы буферных накопителей не ограничены и подтверждение об успешной доставке пакета передается мгновенно.

Сделанные выше предположения позволяют полностью определить разомкнутую неоднородную сеть МО, моделирующую функционирование базовой сети передачи данных. В указанную сеть МО поступают классов пуассоновских потоков пакетов с интенсивностями , маршрут каждого из которых характеризуется матрицей Функция распределения длительности обслуживания пакетов класса в центре сети МО , который моделирует соответствующий канал передачи данных является экспоненциальной с параметром где - пропускная способность канала, измеряемая в - средняя длина пакета класса.

Интенсивность потока пакетов класса , поступающих в канал удовлетворяет уравнению баланса потоков

Здесь

Общий поток пакетов, поступающих в канал и извне в сеть , равен соответственно:

Обозначим также через загрузку канала пакетами класса и общую загрузку канала и

Описанная выше неоднородная открытая сеть МО удовлетворяет всем условиям теоремы ВСМР, и, следовательно, для ее расчета могут быть использованы соответствующие результаты главы 2. В частности, вероятность стационарного состояния сети где и координаты означают число пакетов, ожидающих передачи и передаваемых по каналу, имеет вид

Здесь

Предполагая, что передача пакетов по каналу осуществляется в соответствии с дисциплиной FCFS, из последнего выражения легко определить среднее количество пакетов в канале и среднее число пакетов в сети в целом

В то же время в соответствии с формулой Литтла где Т - среднее время пребывания пакета в сети (задержка пакета).

Таким образом,

Выражение (6.1), впервые полученное Клейнроком [89], имеет важное значение и широко используется при анализе и проектировании компьютерных сетей.

Для расчета межконцевой задержки Т, определяющей время задержки пакетов класса, необходимо рассматривать более детально состояние сети где означает число пакетов класса в канале . Выражение для вероятности определено в разделе 2.3 и с учетом введенных выше обозначений имеет вид

где

Определим теперь среднее число пакетов класса в канале

Подставляя (6.2) в (6.3), после упрощений получаем

Использование формулы Литтла позволяет определить среднюю задержку пакетов класса в канале

Из последнего выражения видно, что средняя задержка класса в канале зависит только от общей загрузки канала и остается постоянной для пакетов разных классов, проходящих через этот канал.

Предположим, что в моделируемой базовой сети передачи данных реализованы постоянные виртуальные соединения и используется фиксированная маршрутизация. Пусть - маршрут (упорядоченное множество каналов), по которому передаются пакеты класса из источника в адресат. Тогда очевидно, что элементы матрицы маршрутов могут принимать значение 0 или 1:

и, следовательно,

Межконцевая задержка пакетов класса в этом случае складывается из суммы задержек в каждом канале маршрута

Второй момент длительности задержки может быть определен из функции распределения длительности задержек пакетов класса, преобразование Лапласа которой имеет вид [299]

Из последнего выражения следует, что

В заключение отметим, что средняя задержка пакетов в сети может быть определена как взвешенная сумма межконцевых задержек по всем маршрутам:

Легко проверить, что выражение (6.5) после подстановки в него (6.4) совпадает с (6.1).