5.3.1 G-сеть с отрицательными заявками и групповыми удалениями положительных заявок

Одним из последующих обобщений G-сети является случай, когда отрицательная заявка может уничтожать группу положительных заявок, при этом размер группы случаен и задается некоторым распределением вероятностей. Такая модель подробно изучена в [207].

Рассмотрим снова базовую G-сеть. Оставляя в силе механизм обслуживания положительных заявок, а также законы, на основании которых положительная заявка после окончания ее обслуживания в узле i направляется в узел j с вероятностью снова как положительная заявка, с вероятностью — как отрицательная заявка и с вероятностью покидает сеть, опишем более подробно поведение отрицательных заявок, поступающих в узлы сети.

Когда отрицательная заявка поступает в узел , в котором находится положительных заявок, где — целочисленная случайная величина, то число заявок в узле уменьшается на (уничтожается сразу положительных заявок), если же то узел i полностью опустошается (т.е. все положительные заявки, находящиеся в узле в данный момент, сразу уничтожаются). Случайная величина фактически определяющая максимальный размер уничтожаемой группы положительных заявок в узле , подчиняется произвольному дискретному закону распределения

Функционирование -сети с групповым удалением заявок также описывается однородным марковским процессом множеством состояний вида (5.22) и с той же интерпретацией физического смысла состояний процесса.

Уравнения баланса для интенсивностей потока, циркулирующих в сети в стационарном режиме ее функционирования, с точки зрения их формальной записи остаются такими же, как и для базовой G-сети, т.е. имеют вид (5.23):

однако величина при этом определяется по-иному, а именно

где

Очевидно, что система уравнений баланса интенсивностей потоков в сети (5.28), (5.29) также является нелинейной.

Предположим, что субстохастическая матрица неразложима.

Теорема 2. Для G-сети с отрицательными заявками и групповым удалением положительных заявок, если существует единственное положительное решение , системы уравнений (5.28), (5.29) такое, что то стационарное распределение процесса представляется в мультипликативной форме:

где

для всех , при этом величина определяется формулой (5.29).

Из теоремы 2 следует, что, как и для базовой G-сети, величина есть стационарная вероятность того, что прибор узла занят обслуживанием, т.е. — коэффициент использования прибора узла .