2.2 Однородные экспоненциальные сети
Описание математического аппарата теории сетей МО целесообразно начать с методов исследования простейших однородных экспоненциальных сетей, т. е. сетей МО, в которых функции распределения длительности обслуживания в центрах являются экспоненциальными, а входящие потоки сообщений - пуассоновскими (если сеть является открытой).
Именно для сетей этого типа, впервые рассмотренных в уже цитировавшихся работах Джексона, Гордона и Ньюэла, был отмечен замечательный факт, состоящий в том, что стационарные вероятности состояний сети имеют мультипликативную форму.
Этот факт явился основой для дальнейших многочисленных аналитических исследований более общих сетей МО, а также разработки эффективных алгоритмов расчета характеристик сетей МО.
2.2.1 Уравнения глобального баланса для замкнутых цепей
Рассмотрим однородную замкнутую сеть МО с многолинейными центрами, дисциплиной обслуживания FCFS, в которой циркулируют N сообщений в соответствии с матрицей маршрутов
.
Длительность обслуживания сообщения в приборе
центра распределена по экспоненциальному закону с параметром
, так, что общая интенсивность обслуживания любого центра определяется выражением
Введем в рассмотрение многомерный случайный процесс
где
- число сообщений, находящихся в
центре (в очереди и на обслуживании) в момент
и обозначим через
вероятность того, что в момент t сеть находится в состоянии
Обозначим через
множество М-мерных векторов с неотрицательными целочисленными координатами
мощность которого (количество состояний) равна
Случайный процесс
определенный на пространстве состояний
, является марковским, так как длительности обслуживания в центрах сети распределены по экспоненциальному закону. Анализируя возможные переходы этого процесса за промежуток времени
и переходя к пределу при
получаем следующую систему прямых дифференциальных уравнений Колмогорова:
где
- вектор,
координата которого равна 1, а остальные равны нулю; функция
определяет число сообщений, находящихся на обслуживании в
центре
, когда общее число сообщений в нем равно
при
Рассмотрим решение системы (2.4) в стационарном режиме, который в замкнутой сети МО всегда существует. Приравнивая к нулю производные в левой части системы уравнений (2.4), для вероятностей стационарного распределения марковского процесса
с учетом тождества
получаем следующую систему линейных разностных уравнений:
Физическая интерпретация последнего выражения весьма проста. Левая часть представляет собой скорость переходов из состояния
, а правая - скорость перехода в это состояние. Уравнение (2.5) часто называют уравнением глобального баланса [160,208], которые широко используются при исследовании сетей МО и рассматриваются в этом и следующих разделах.