2.2 Однородные экспоненциальные сети

Описание математического аппарата теории сетей МО целесообразно начать с методов исследования простейших однородных экспоненциальных сетей, т. е. сетей МО, в которых функции распределения длительности обслуживания в центрах являются экспоненциальными, а входящие потоки сообщений - пуассоновскими (если сеть является открытой).

Именно для сетей этого типа, впервые рассмотренных в уже цитировавшихся работах Джексона, Гордона и Ньюэла, был отмечен замечательный факт, состоящий в том, что стационарные вероятности состояний сети имеют мультипликативную форму.

Этот факт явился основой для дальнейших многочисленных аналитических исследований более общих сетей МО, а также разработки эффективных алгоритмов расчета характеристик сетей МО.

2.2.1 Уравнения глобального баланса для замкнутых цепей

Рассмотрим однородную замкнутую сеть МО с многолинейными центрами, дисциплиной обслуживания FCFS, в которой циркулируют N сообщений в соответствии с матрицей маршрутов .

Длительность обслуживания сообщения в приборе центра распределена по экспоненциальному закону с параметром , так, что общая интенсивность обслуживания любого центра определяется выражением

Введем в рассмотрение многомерный случайный процесс

где - число сообщений, находящихся в центре (в очереди и на обслуживании) в момент и обозначим через

вероятность того, что в момент t сеть находится в состоянии

Обозначим через множество М-мерных векторов с неотрицательными целочисленными координатами

мощность которого (количество состояний) равна

Случайный процесс определенный на пространстве состояний , является марковским, так как длительности обслуживания в центрах сети распределены по экспоненциальному закону. Анализируя возможные переходы этого процесса за промежуток времени и переходя к пределу при получаем следующую систему прямых дифференциальных уравнений Колмогорова:

где - вектор, координата которого равна 1, а остальные равны нулю; функция определяет число сообщений, находящихся на обслуживании в центре , когда общее число сообщений в нем равно при

Рассмотрим решение системы (2.4) в стационарном режиме, который в замкнутой сети МО всегда существует. Приравнивая к нулю производные в левой части системы уравнений (2.4), для вероятностей стационарного распределения марковского процесса

с учетом тождества получаем следующую систему линейных разностных уравнений:

Физическая интерпретация последнего выражения весьма проста. Левая часть представляет собой скорость переходов из состояния , а правая - скорость перехода в это состояние. Уравнение (2.5) часто называют уравнением глобального баланса [160,208], которые широко используются при исследовании сетей МО и рассматриваются в этом и следующих разделах.