1.3.2 Метод диаграмм интенсивностей переходов

Отметим, что существует эффективный метод получения уравнений типа (1.12), (1.13) (так называемых уравнений равновесия) для цепей Маркова с непрерывным временем (и процессов гибели и размножения в частности), без использования уравнений для нестационарных вероятностей.

Этот альтернативный метод называется методом диаграмм интенсивностей переходов. Сущность метода заключается в следующем. Поведение цепи Маркова с непрерывным временем описывается ориентированным графом. Узлы графа соответствуют возможным состояниям цепи. Дуги графа соответствуют возможным одношаговым переходам между состояниями цепи. Каждая дуга снабжается числом, равным интенсивности соответствующего перехода. Для получения системы линейных алгебраических уравнений для стационарных вероятностей используют так называемый принцип сохранения потока. Этот принцип заключается в следующем. Если сделать разрез графа, то есть, удалить некоторые дуги таким образом, что получится несвязный граф, то поток из одной части разрезанного графа в другую равен потоку в обратном направлении.

Под потоком понимается сумма (по всем удаляемым дугам) произведений стационарной вероятности узла, из которого идет удаляемая дуга, на интенсивность соответствующего перехода. Приравнивая таким образом потоки по всем разрезам, выбранным соответствующим образом, мы и получаем искомую систему уравнений.

Заметим, что мы получаем в точности уравнения равновесия, полученные посредством применения - метода» (называемые уравнениями глобального равновесия) если разрез в графе делается путем сечения всех дуг вокруг узла графа. Иногда за счет выбора более удачных сечений в графе удается получить существенно более простую для решения систему уравнений (называемых уравнениями локального баланса). В частности, если изобразить поведение рассматриваемого в данном разделе процесса гибели и размножения в виде ленточного графа и сделать разрез не вокруг узла, соответствующего состоянию i (при этом мы получим уравнения (1.12), (1.13)), а между узлами, соответствующими состояниям то мы получим сразу более простые уравнения (1.14), из которых автоматически следуют формулы (1.11).