2.5.2 Постановка и решение задачи оптимизации
Стоимость сети S как функция вектора 
задается следующим образом:
Здесь 
- стоимостные коэффициенты; а - некоторые неотрицательные коэффициенты нелинейности.
Производительности центров обслуживания (интенсивности выходящих из центров сообщений) в замкнутых экспоненциальных сетях пропорциональны друг другу, поэтому под производительностью сети А можно понимать производительность одного из центров сети (например, первого).
Задача оптимизации замкнутой однородной сети МО состоит в максимизации производительности сети при стоимости, не превосходящей заданной, или минимизации стоимости сети при производительности не ниже заданной. Легко показать [87], что максимум производительности сети не может достигаться внутри области ограничения на стоимость, и, следовательно, должно выполняться равенство 
, где S - ограничение на стоимость сети МО. Аналогично минимальная стоимость сети достигается при выполнении ограничения на производительность в виде равенства 
Таким образом, задача оптимизации замкнутой экспоненциальной сети МО может быть сформулирована в одной из следующих постановок.
Постановка 1. Найти
при ограничении
Постановка 2. Найти
при ограничении
Функции 
- выпуклые [274], поэтому любой локальный максимум задачи в постановке 1 является также и глобальным максимумом; любой локальный минимум в постановке 2 является также и глобальным минимумом.
Оптимальное решение задачи (2.55), (2.56) будем искать методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа 
, где 
- множитель Лагранжа. Взяв частные производные и приравняв их к нулю, получим
Используя (2.47), (2.51) и (2.56), имеем
Для исключения 
разделим 
уравнение на первое. Тогда с учетом ограничения (2.56) получим:
Подставляя 
из (2.59) в (2.60), получаем окончательно систему нелинейных уравнений относительно переменных 
Вектор и i являющейся решением системы уравнений (2.61), (2.62), доставляет максимум целевой функции 
при выполнении ограничения 
.
Решая аналогичным образом задачу в постановке 2, получаем
Отсюда после подстановки (2.47), (2.51) имеем
Разделим 
уравнение на первое. Тогда с учетом формулы (2.29) 
и ограничения (2.58) получим окончательно:
Таким образом, задача оптимизации замкнутой однородной сети МО сведена к решению системы нелинейных уравнений (2.61), (2.62) или (2.63), (2.64), которое находится известными методами. Пример такого решения приводится в следующем пункте.
