2.5 Оптимизация замкнутых однородных сетей массового обслуживания

Рассмотренные в предыдущих разделах различные подходы к исследованию локально-сбалансированных сетей МО показывают, что теоретические методы анализа сетей этого типа разработаны достаточно полно.

В то же время методы синтеза сетей МО, необходимые для оптимизации вычислительных систем и сетей, развиты недостаточно, особенно для класса замкнутых сетей МО.

В настоящем разделе рассматривается новый эффективный алгоритм оптимизации однородных замкнутых сетей МО [28]. Решение задачи оптимизации сети сводится к решению системы нелинейных уравнений, которая, в отличие от [274], не содержит частных производных. Такой подход позволяет расширить область применения методов оптимизации на сетях и повысить вычислительную эффективность алгоритмов.

2.5.1 Некоторые свойства характеристик замкнутых однородных сетей МО

Прежде чем переходить непосредственно к формулировке задачи оптимизации замкнутых однородных локально-сбалансированных сетей МО, рассмотрим свойства некоторых характеристик, в частности зависимость средней длины очереди и производительности от интенсивности обслуживания в центре. Исследование этой зависимости необходимо для решения задачи оптимизации замкнутых сетей МО и в то же время представляет самостоятельный теоретический интерес.

Пусть интенсивность обслуживания в центре представляется в виде и является неубывающей функцией числа сообщений в очереди, т. е. . Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Средняя длина очереди является монотонно убывающей (возрастающей), а производительность - монотонно возрастающей (убывающей) функциями интенсивности обслуживания (относительного коэффициента использования «своего» центра обслуживания), причем:

Доказательство. Преобразуем выражение (2.22) для нормализующей константы используя вспомогательную функцию , введенную в предыдущем разделе. Легко видеть [см. также вывод формулы (3.10)], что

где

Дифференцируя выражение для и учитывая что средняя длина очереди в центре , получаем

где определено в п. 2.4.2.

Используя (2.50) и (2.28) для производительности центра докажем соотношение (2.49):

Для доказательства (2.48) определим предварительно

отсюда

Теперь с учетом того, что легко доказываются соотношения (2.46) и (2.47). Например,

Монотонность функций следует из того, что при

Теорема 2.

Если интенсивность обслуживания в центре является неубывающей функцией числа сообщений в очереди, то производительность и средняя длина очереди центра являются монотонно возрастающими (убывающими) функциями интенсивности обслуживания (относительного коэффициента использования) центра, причем:

Доказательство. Дифференцируя выражение для и используя (2.50), получаем

что доказывает соотношение (2.53).

Для доказательства (2.54) найдем предварительно

где - средняя длина очереди в центре сети с сообщениями, которая отличается от исходной сети отсутствием центра .

Используя последнее выражение, получаем

Для сети с двумя центрами

Учитывая, что

и используя (2.48), имеем

Отсюда следуют (2.54) и монотонность Формулы (2.51), (2.52) доказываются на основе выражений (2.53), (2.54) аналогично тому, как это показано при доказательстве теоремы 1.