2.4 Итерационный метод анализа средних значений

В предыдущих разделах был рассмотрен традиционный подход к исследованию локально-сбалансированных сетей МО, базирующийся на составлении уравнений глобального баланса относительно вероятностей вектора состояний сети.

Решение этих уравнений в мультипликативной форме позволяет находить различные средние характеристики сети как функции нормализующей константы (см. раздел 2.2).

Однако расчет нормализующей константы в силу комбинаторно возрастающего пространства состояний сети требует значительных вычислительных усилий. Более того, вычисление нормализующей константы связано с проблемой перевыполнения и обнуления результатов в памяти ЭВМ, обсуждение которой мы оставим до главы 3.

Описываемый ниже итерационный метод анализа средних характеристик сети МО позволяет избежать этих трудностей, так как при определении таких практически важных показателей качества функционирования, как средние длины очередей и времена ожиданий, производительность сети и загрузка центров и т. д., этот алгоритм не требует предварительного вычисления нормализующей константы.

2.4.1 Общее описание метода

Рассмотрим предварительно применение метода анализа средних значений для расчета замкнутой однородной экспоненциальной сети МО, не зависящей от нагрузки, которую обозначим через осуществляется в соответствии с дисциплиной FCFS, то среднее время ожидания центре складывается из средней длительности обслуживания вновь поступившего сообщения и средней длительности обслуживания всех сообщений, находившихся в центре , где - среднее количество сообщений в центре в момент поступления нового сообщения. Таким образом,

и для определения необходимо исследовать стационарный режим марковской цепи, описывающей функционирование сети МО в моменты поступления сообщений в центр (марковской цепи, вложенной по этим моментам). Легко показать [97], что стационарные вероятности состояний сети в момент поступления сообщения в центр совпадают со стационарными вероятностями состояний сети для произвольного момента времени. Отсюда непосредственно следует, что , где - среднее число сообщений в центре сети , и (2.39) приобретает вид

Выражение (2.40) можно получить непосредственно из определения средней длины очереди по формуле (2.33), не опираясь на сформулированное выше утверждение. Представим (2.33) в виде

Отсюда с учетом того, что , и с учетом формулы (2.28) и формулы Литтла следует выражение (2.40).

Чтобы получить рекуррентный алгоритм для расчета средних характеристик сети, необходимо найти соотношение, связывающее величины . Такое соотношение вытекает из формулы Литтла, примененной к центру:

где - интенсивность потока сообщений, поступающих в центр.

Если обозначить через номер произвольного выделенного центра сети, то, как следует из раздела 2.1,

где однозначно определяется уравнением

а производительность выделенного центра с учетом формулы Литтла и выражения (2.35) для времени цикла, имеет вид

Учитывая начальные условия с помощью системы уравнений

можно рекуррентно по N рассчитывать средние характеристики однородной сети МО, интенсивности обслуживания центров которой не зависит от нагрузки.

Метод анализа средних значений позволяет определить и другие характеристики сети МО, например маргинальное распределение длины очереди в центре:

доказательство которого приводится в следующем пункте.