СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ

— случайная функция нескольких переменных. Говорят, что на множестве Т задано скалярное С. п. , если каждому t из Т поставлена в соответствие случайная величина Если принимает векторные значения, то наз. векторным С. п. на Т. Понятие С. п. обобщает понятие случайного процесса: в том случае, когда Т — подмножество числовой оси, наз. случайным процессом. в данной точке пространства, интенсивность космических лучей в данной точке земного шара — примеры С. п. соответственно впространстве и на сфере. описывают случайные флуктуации в различных задачах радиофизики, теории распознавания образов, автоматического управления теории, теории турбулентности. Скалярное С. п. задается совокупностью всех конечномерных распределений, т. е. набором всех вероятностей вида Важными характеристиками С. п. являются математическое ожидание и корреляционная функция . В практически важном частном случае гауссовского С. п. (см. Гауссовский случайный процесс) эти две характеристики полностью определяют и весь набор конечномерных распределений.

С. п., описывающие различные физ. процессы, часто обладают некоторыми свойствами однородности (инвариантности вероятностных характеристик при преобразованиях пространства Т). Предположим, что на Т задана некоторая группа преобразований G. Пусть точка, в которую переходит t под действием преобразования g из наз. однородным в узком смысле относительно группы преобразований G, если распределение значений поля в любых точках из Т совпадает с распределением значений поля в точках при любом g из G и любом п. Часто предполагают менее ограничительное требование инвариантности относительно G только ф-ций именно, С. п. однородным в

широком смысле относительно G, если для всякого g из это означает, что ) не зависит от t) и Для гауссовских С. п. понятия однородности в узком и широком смысле совпадают. Предположение однородности влечет за собой определенные представления для корреляционной ф-ции С. п. и выборочных ф-ций самого поля. Пусть, напр., Т — эвклидово пространство измерений, группа всех параллельных переносов в . С. п. на однородное относительно однородным С. п. Корреляционная ф-ция непрерывного в среднем квадратическом однородного С. п. зависит от разности аргументов и имеет вид:

где конечная мера на называемая спектральная мера С. п.). Само поле допускает представление в виде стохастического интеграла где случайная аддитивная ф-ция мн-ва на такая, что частности, случайные величины некоррелированы, если мн-ва и не пересекаются).

Стационарный случайный процесс — частный случай однородного С. п. Если группа всех движений в то С. п. однородное относительное, наз. однородным и изотропным. Корреляционная ф-ция такого поля зависит только от расстояния между точками причем

где ограниченная неубывающая ф-ция на бесселева ф-ция.

Если сфера единичного радиуса в группа всех вращений сферы, то С. п. однородное относительно изотропным С. п. на сфере. Корреляционная ф-ция такого поля зависит от углового расстояния между точками причем , где - многочлен Лежандра степени к. С. п. имеет вид . где - сферические ф-ции, случайные величины такие, что . В теории векторных С. п. роль, аналогичную роли корреляционной ф-ции, играет корреляционная матрица. Для корреляционных матриц однородных полей также известны спектральные представления. М. И. Ядренко.