1.2.5. Последовательное и параллельное соединение систем

Одним из достоинств линейных инвариантных к сдвигу систем является простота анализа соединенных друг с другом систем. Частично это связано со свойствами оператора свертки. Мы уже видели, что свертка обладает свойством коммутативности:

.                       (1.46)

Свертка обладает также свойством ассоциативности. Если результат свертки  и  свернуть с , результат будет тем же, что и при свертке  с результатом свертки  и :

.              (1.47)

В силу свойства ассоциативности при описании многократной свертки скобки можно опускать.

Наконец, свертка обладает свойством дистрибутивности по отношению к операции сложения

.                  (1.48)

Ассоциативные и дистрибутивные свойства оператора свертки достаточно наглядны. Читателю предлагается провести их доказательство в качестве упражнения (упр. 1.4).

Две системы считаются соединенными последовательно, или каскадно, если выходной сигнал первой системы служит входным сигналом для второй, как это показано на рис. 1.15. Если две системы линейны и инвариантны к сдвигу, то, как можно показать, их каскадное соединение также линейно и инвариантно к сдвигу. Если  обозначает выходной сигнал первой системы каскада, то

,

.                 (1.49)

С учетом свойства ассоциативности выражение (1.49) можно переписать следующим образом:

.                               (1.50)

Рис. 1.15. Каскадное соединение двух систем.

Если обе системы линейны и инвариантны к сдвигу, порядок систем в каскаде не имеет значения, и с точки зрения преобразования входного сигнала в выходной обе схемы эквивалентны.

Отсюда эквивалентный импульсный отклик каскадной системы имеет вид

.             (1.51)

Продвинувшись еще на шаг и использовав правило коммутативности, получим, что эквивалентный импульсный отклик не изменяется, если системы в каскаде поменять местами. Таким образом, две каскадные ЛИС-системы, которые отличаются только порядком входящих в них подсистем, а в остальном идентичны, являются эквивалентными; они формируют одинаковые выходные сигналы при возбуждении одним и тем же входным сигналом. Если  ЛИС-систем образуют каскадную комбинацию, то эквивалентный импульсный отклик представляет собой -кратную свертку их индивидуальных импульсных откликов. Далее, эти системы можно соединить каскадно в любом порядке, и это не повлияет на эквивалентный импульсный отклик.

На рис. 1.16 показаны две системы, соединенные параллельно. У них общий вход, и общий выходной сигнал формируется путем суммирования выходных сигналов систем. Можно непосредственно показать, что если обе эти системы линейны и инвариантны к сдвигу, то вся система в целом также линейна и инвариантна к сдвигу. Для нахождения эквивалентного импульсного отклика заметим, что

.                       (1.52)

Применив правило дистрибутивности, получим

,                    (1.53)

откуда следует, что

.              (1.54)

Это правило очевидным образом обобщается на параллельное соединение более двух ЛИС-систем.

Рис. 1.16. Параллельное соединение двух систем.

Иногда оказывается полезным разложить импульсный отклик на несколько компонент, в частности если импульсный отклик имеет хотя и ограниченную, но причудливом формы опорную область, которую можно представить комбинацией меньших по размеру областей более правильной формы. В этом случае входную последовательность можно свернуть с импульсными откликами - компонентами и получить искомую выходную последовательность (суммируя результаты). В результате путем параллельного соединения более простых систем образуется интересующая нас система.