1.3.4. Другие свойства двумерных преобразований Фурье

Будем использовать обозначение

                       (1.100)

для указания на то, что  и  - пара функций, связанных преобразованием Фурье. С использованием этого обозначения теорема о свертке приобретает форму

.                       (1.101)

Оператор двумерного преобразования Фурье обладает рядом полезных свойств, которые являются прямым обобщением свойств одномерного преобразования. Ниже дан краткий обзор этих свойств.

Линейность. Если

 и ,

то для любых комплексных чисел  и

.                    (1.102)

Пространственный сдвиг. Если

,

то

.              (1.103)

Сдвиг последовательности   на величину  соответствует умножению ее преобразования Фурье  на множитель с линейной фазой .

Модуляция.

.                     (1.104)

Умножение последовательности на комплексную синусоидальную последовательность соответствует сдвигу ее преобразования Фурье.

Умножение. Справедливо соотношение

     (1.105)

Перемножение двух последовательностей приводит к свертке их преобразований Фурье, как это видно из (1.105). Заметим, что интеграл свертки имеет особый вид; подынтегральное выражение обладает двойной периодичностью, а область интегрирования точно соответствует одному периоду подынтегрального выражения. Свойство модуляции (1.104) можно рассматривать как частный случай перемножения двух последовательностей.

Дифференцирование преобразования Фурье. Осуществляется следующим образом:

,                                  (1.106а)

,                     (1.106б)

.                  (1.106в)

Транспонирование. Характеризуется соотношением

.                                (1.107)

Зеркальное отражение. Его описывают соотношения:

,               (1.108а)

,               (1.108б)

.                      (1.108в)

Комплексное сопряжение. Имеем

.             (1.109)

Вещественная и мнимая части. Разделяются следующим образом:

,                      (1.110а)

,                    (1.110б)

,             (1.111а)

.                      (1.111б)

В частном случае, когда  является последовательностью с вещественными значениями, из приведенных выражений следует, что

,                                     (1.112а)

,                    (1.112б)

.                  (1.112в)

Вещественная часть преобразования Фурье обладает четной симметрией по отношению к началу координат, мнимая часть - нечетной. Если  состоит из вещественных чисел, левые части соотношений (1.111а) и (1.1116) отображают четную и нечетную составляющие  соответственно. Теорема Парсеваля. Если

 и ,

то

.               (1.113)

Это замечательное соотношение можно интерпретировать и использовать различными способами. Левая часть выражения (1.113) определяет скалярное произведение двух двумерных последовательностей; правая часть определяет скалярное произведение их преобразований Фурье. Теорема Парсеваля утверждает, что скалярное произведение инвариантно относительно операции преобразования Фурье.

Равенство (1.113) сводится к теореме о свертке, если  принимается равным , как в упр. 1.19.

Другой важный частный случай возникает, если , так что уравнение (1.113) переходит в уравнение

.                      (1.114)

Левую часть уравнения (1.114) можно рассматривать как полную энергию дискретного сигнала . Функция  определяет спектральную плотность энергии, поскольку интеграл от этой функции равен полной энергии сигнала.