1.4. Дискретизация непрерывных двумерных сигналов

Почти все дискретные последовательности получаются как результат представления некоторых реальных непрерывных сигналов. Существует много различных способов представления непрерывных сигналов - разложение в ряды Фурье и Тейлора, разложение по нетригонометрическим ортогональным функциям и т. д., однако значительно чаще других способов используется периодическая дискретизация, что частично связано с простотой ее реализации. В настоящем разделе будет рассмотрена взаимосвязь характеристик непрерывных сигналов и получаемых из них путем периодической дискретизации дискретных последовательностей. Мы сделаем это дважды - сначала для частного случая периодической дискретизации по прямоугольному растру, а затем в более общем случае использования других растров дискретизации.

1.4.1. Периодическая дискретизация по прямоугольному растру

Из нескольких способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах, которую мы будем для простоты называть прямоугольной дискретизацией. Если  - двумерный непрерывный сигнал, то дискретный сигнал , полученный из него путем прямоугольной дискретизации, имеет вид

,                (1.115)

где  и  - положительные вещественные константы, известные как горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации. Расположение отсчетов на плоскости  показано на рис. 1.23. Исходя из вида сформированной таким образом последовательности, необходимо ответить на два вопроса: можно ли по значениям  восстановить сигнал  и как связаны Фурье-преобразования сигналов  и ?

Рис. 1.23. Расположение отсчетов на плоскости  для случая прямоугольной дискретизации.

Прежде всего определим двумерное преобразование Фурье для непрерывных сигналов:

,                        (1.116)

.             (1.117)

Поскольку , то, используя (1.117), можно записать

.                 (1.118)

Далее преобразуем это выражение так, чтобы получить обратное преобразование Фурье для дискретных сигналов. Начнем с подстановки  и ; это даст нам правильную форму экспоненциальных множителей. Получим

.                 (1.119)

Двойной интеграл по всей плоскости  можно разложить на бесконечную последовательность интегралов, каждый из которых имеет квадратную область интегрирования площадью . Пусть  представляет собой квадратную область

, .

Тогда (1.119) можно записать следующим образом:

.

Заменяя  на  и  на , можно устранить зависимость пределов интегрирования от  и  и получить

              (1.120)

Второй экспоненциальный множитель в (1.120) равен 1 для всех значений целочисленных переменных , ,  и . Теперь выражение (1.120) записано в форме, совпадающей с обратным преобразованием Фурье, откуда можно заключить, что

                                              (1.121)

иначе

.                                    (1.122)

Выражение (1.122) и дает нам искомую взаимосвязь между преобразованиями Фурье непрерывного и дискретного сигналов. Правую часть этого выражения можно рассматривать как периодическое продолжение, или дополнение функции , дающее периодическую функцию .

Если непрерывный сигнал  является сигналом с ограниченным спектром, выражение (1.122) допускает дальнейшее упрощение. Преобразование Фурье  сигнала с ограниченным спектром имеет нулевые значения вне некоторой конечной области на плоскости . Для простоты предположим, что периоды дискретизации  и  выбраны достаточно малыми, так что

 для , .                                                     (1.123)

Тогда выражение (1.122) упрощается:

 при  и .                     (1.124)

Значения  вне этой области определяются периодичностью .

На рис. 1.24,а представлено изображение преобразования Фурье сигнала с ограниченным частотным спектром. Периодическое повторение преобразования Фурье дает периодическую функцию, показанную на рис. 1.24,б.

Рис. 1.24. а - преобразование Фурье непрерывного сигнала с ограниченным частотным спектром; б - периодическое повторение этого преобразования.

Пока  удовлетворяет уравнению (1.123), его можно восстановить по , обратив выражение (1.124):

.                  (1.125)

Следовательно, в данном случае непрерывный сигнал  можно восстановить по дискретному сигналу. Для иллюстрации этого положения выразим  через его преобразование Фурье

                      (1.126)

Здесь для удобства использованы обозначения  и . Выразим теперь  через :

      (1.127)

Вместе взятые выражения (1.115), (1.125) и (1.127) образуют основу двумерной теоремы отсчетов. Эта теорема утверждает, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен по значениям его отсчетов. Для обеспечения условия (1.123) интервалы дискретизации  и  должны быть достаточно малыми, либо, что то же самое, частоты дискретизации  и  должны быть достаточно велики.

Непрерывный сигнал с неограниченным частотным спектром также можно подвергнуть дискретизации, однако в этом случае выражения (1.124) и (1.125) несправедливы, так как при периодическом повторении (1.122) в область ,  будут вносить вклад и другие копии . Это явление, как и при обработке одномерных сигналов, носит название эффекта наложения, поскольку высокочастотные компоненты  будут «маскироваться» под низкочастотные компоненты .