7.1.3. Восстановление сигнала по значениям только фазы или амплитуды

В большом числе задач (особенно в оптике) физический процесс излучения сигнала накладывает определенные ограничения на наблюдаемый сигнал и его спектр Фурье. Например, в оптических системах можно измерить амплитуду сигнала и его спектра Фурье, но измерение фазы того и другого весьма затруднительно. В подобной ситуации искажение и ограничения тесно связаны друг с другом. Например, согласие с амплитудой известной спектральной функции является ограничением, а неизвестную фазу можно представить себе как результат зависящего от сигнала искажения. Гершберг и Сэкстон [8] предложили итерационный алгоритм для восстановления комплексного или биполярного сигнала по его амплитуде и амплитуде его спектра Фурье. Фьенап [9, 10] рассмотрел итерационные алгоритмы восстановления сигнала по амплитуде его спектра Фурье при ограничении, что сигнал положителен. Хайес [11, 12] проанализировал алгоритмы восстановления сигналов с конечной опорной областью как по фазе, так и по амплитуде спектра Фурье.

Чтобы проиллюстрировать этот класс алгоритмов, предположим, что или амплитуда, или фаза спектра Фурье сигнала  известны, но не обе величины одновременно. Примем также, что априорные знания о свойствах сигнала можно выразить в форме оператора ограничений (например, известно, что сигнал  положителен, или имеет конечную опорную область, или то и другое одновременно). Таким образом, искажение можно интерпретировать в Фурье-области как

,                                                        (7.25)

где  и  - спектры Фурье сигнала  и искаженного сигнала  соответственно. Если известна только амплитуда , то оператор  определяется следующим образом:

,             (7.26а)

а если известна только фаза, то

.                   (7.26б)

Ясно в обоих случаях, что искажения нелинейны и зависят от самого сигнала. Оператор ограничений  удобно представить (и реализовать) как каскадное соединение оператора ограничений в Фурье-области  и оператора ограничений в пространственной области . Оператор ограничений в пространственной области описывает такие ограничения как конечную опорную область или положительность (или то и другое одновременно).

Если известна амплитуда преобразования Фурье [соответствующая искажениям согласно выражению (7.26а)], то ограничение в Фурье-области можно записать в следующем виде:

,                (7.27а)

где  - известная амплитуда спектра Фурье, a  - спектр Фурье входа оператора ограничений в Фурье-области. Если известна фаза, то оператор ограничений в Фурье-области можно записать в виде

,                (7.27б)

где  - известная фаза.

Если определить , где  - оператор преобразования Фурье, то общую схему итерации в частотной области можно представить в следующем виде:

,                                                      (7.28а)

,                            (7.28б)

где  - спектр Фурье выхода оператора ограничений, т. е.

.                             (7.28в)

В случаях когда известна как амплитуда, так и фаза, не имеет значения, с чего начинается итерация, и независимо от номера итерации член  в уравнении (7.28б) можно выразить следующим образом:

,                      (7.29)

поскольку искажения и ограничения в Фурье-области тесно связаны для обоих типов искажений. Например, если ограничением в Фурье-области является фаза, то комбинированные операции  будут всегда давать спектр Фурье с единичной амплитудой и фазой, равной известной фазе.

Подставив решение уравнения (7.29) в уравнение (7.28б) и записав итерационное уравнение через величины в пространственной области, получим

,                                                                    (7.30а)

.                                    (7.30б)

Операции, описываемые уравнениями        (7.30), иллюстрируются рис. 7.4.

Рис. 7.4. Блок-схема алгоритма восстановления по значению амплитуды или фазы преобразования Фурье при наличии ограничений. (С любезного согласия Рональда В. Шафора, Расселла М. Мерсеро и Марка А. Ричардса. Proc. IEEE. © 1981 IEEE.)

При решении уравнения (7.29) или уравнений (7.30) необходимо реализовать операторы Фурье  и . В случае дискретных сигналов часто эти операторы можно адекватно аппроксимировать дискретными преобразованиями Фурье. Действительно, в работе [11] было показано, что, если известно, что сигнал имеет конечную опорную область, с помощью дискретного преобразования Фурье можно теоретически точно восстановить сигнал.

Операторы ограничений в Фурье-области и пространственной области можно применять в обратном порядке, положив в общей формуле итерации . Это приводит к другому итерационному уравнению, которое требует дополнительных вычислений, но, по-видимому, не имеет каких-либо преимуществ [1].

В задачах подобного типа, когда ограничения накладываются независимо как в пространственной области, так и в Фурье-области, очевидно, эти ограничения должны быть согласованы, и должен существовать единственный сигнал, удовлетворяющий этим ограничениям. Например, рассмотрим случай с известной фазой и с ограничением в пространственной области, заключающимся в том, что опорная область сигнала конечна. Ясно, что имеется бесконечное число сигналов, спектры Фурье которых имеют заданную фазу, и, по-видимому, имеется бесконечное число сигналов, имеющих ненулевое значение в данной опорной области. Ограничения согласованы, если есть по крайней мере один сигнал, удовлетворяющий обоим ограничениям. С другой стороны, ограничения могут быть согласованы, но они могут определять сигнал не единственным образом. В этом примере, если известная фазовая функция содержит линейную компоненту, соответствующую одному или более набору из четырех нулей обратной дроби ее -преобразования, невозможно восстановить сигнал  только по его фазе и конечной опорной области, поскольку любой набор из четырех нулей обратных дробей будет давать такую же линейную фазовую компоненту. Эта проблема подробно проанализирована Хайесом [11, 12], определившим условия восстановления сигнала единственным образом по его фазе. Однозначное восстановление возможно в том и только в том случае, если ни один из этих нулей обратной дроби не содержится в -преобразовании сигнала.

На рис. 7.5 приведен результат итерационной процедуры восстановления изображения по информации об амплитуде и фазе спектра Фурье. На рис. 7.5,а показано изображение с точным значением амплитуды спектра Фурье и информацией о квантованной фазе в 1 бит. На рис. 7.5,б приведен результат после 20 итераций. На рис. 7.5,в показан результат восстановления только по значению фазы при постоянной величине амплитуды спектра Фурье, а на рис. 7.5,г - результат восстановления также после 20 итераций. При попытке восстановления только по одной амплитуде без какой-либо оценки фазы итерации не сходятся. Во всех случаях в качестве ограничений использовались конечная опорная область изображений и положительность их значений.

Рис. 7.5. Примеры восстановления только по амплитуде и знаку и только по фазе.

а - изображение, полученное только по значению амплитуды и знаку с использованием точной амплитуды преобразования Фурье и 1 бит информации о фазе; б - изображение, полученное после 20 итераций; в - изображение, полученное только по значению фазы (амплитуда преобразования Фурье постоянна); г - изображение, полученное после 20 итераций. (С любезного согласия Xaйeca [11]. © 1982 IEEE.)