5.7.2. Метод стабилизации Шоу [13]

Этот метод стабилизации основан на интерпретации двумерного полинома-знаменателя  как параметрического одномерного полинома  (гл. 4). Для фильтров с опорной областью в виде полуплоскости  теорему устойчивости из гл. 4 можно записать следующим образом.

Теорема [13]. Фильтр с откликом  устойчив в смысле ограниченного входа и ограниченного выхода в том и только в том случае, если

а)       для ,                  (5.197а)

б)       для ,                            (5.197б)

в)       имеет непрерывную, нечетную и периодическую фазу при . (Линейная компонента фазы отсутствует.)

Опорная область  включает в себя в качестве частных случаев первый и второй квадранты, две несимметричные полуплоскости, а также, разумеется, полуплоскость.

Следуя работе Шоу [13], рассмотрим сначала набор коэффициентов  неустойчивого знаменателя с опорной областью на первом квадранте, удовлетворяющий условиям пп. «а» и «б» и не удовлетворяющий условию п. «в» теоремы. Простым сдвигом  на соответствующее число отсчетов (скажем, ) по оси  можно избавиться от линейной компоненты фазы и получить набор, соответствующий устойчивому знаменателю

                            (5.198)

в общем случае с опорной областью в виде полуплоскости. (Двумерный БИХ-фильтр, опорной областью коэффициентов знаменателя которого является полуплоскость, можно реализовать с использованием итерационных методов, описанных в разд. 5.2, либо с помощью обобщения полуплоскостной реализации из разд. 5.6.3. Однако здесь мы предполагаем, что пользователю желательно реализовать фильтр в виде классического решения двумерного разностного уравнения.)

Множество  можно изменить, образовав устойчивое множество  с опорной областью на несимметричной полуплоскости. Будем считать первую строку последовательности  одномерной последовательностью . Теперь мы можем вычислить одномерное -преобразование последовательности , отразить корни, находящиеся вне единичной окружности, внутрь последней и выполнить обратное -преобразование, чтобы получить физически реализуемую минимально-фазовую последовательность . Эта операция порождает одномерный фильтр с полным пропусканием

,                                              (5.199)

где  - максимально-фазовый полином, корни которого совпадают с теми корнями -преобразования , которые находятся вне единичной окружности. В частности, для первой строки мы имеем

                     (5.200)

и в общем случае

.                   (5.201)

Множество  соответствует устойчивому фильтру с нужной амплитудной характеристикой и опорной областью на несимметричной полуплоскости. К сожалению, это множество может иметь бесконечную протяженность по переменной . Поэтому получение пригодного для использования множества коэффициентов знаменателя требует наложения окна того или иного вида.

В общем случае неустойчивый полином-знаменатель может и не удовлетворять условиям (5.197а) или (5.197б). Рассмотрим случай, когда условие (5.197а) удовлетворяется, а условие (5.197б) нет. В этом случае неустойчивый полином-знаменатель  можно записать в виде одномерного параметризованного полинома . Тогда теоретически для каждого значения  в пределах  можно представить  в виде произведения минимально-фазового и максимально-фазового полиномов. Максимально-фазовый полином можно преобразовать в минимально-фазовый путем отражения его корней внутрь единичной окружности по переменной . Коэффициенты устойчивого знаменателя  получаются путем перемножения этих двух минимально-фазовых полиномов. Найденный таким образом массив  будет иметь опорную область на симметричной полуплоскости и может быть подвергнут описанному выше преобразованию для получения множества с опорной областью на несимметричной полуплоскости.

Если полином  не удовлетворяет также условию (5.197а), то описанная процедура не годится из-за наличия нулей на единичной окружности по . Однако корни полинома , находящиеся строго вне единичной окружности по попеременной , можно отразить внутрь с образованием полинома

 для всех  и .               (5.202)

Затем, введя для коэффициентов  соответствующие веса

, ,                                                         (5.203)

можно отразить корни  внутрь единичной окружности по переменной .

Таким образом,

.                                          (5.204)

В общем случае для получения коэффициентов устойчивого фильтра с опорной областью на несимметричной полуплоскости необходимо, как и ранее, подвергнуть  фильтрации фильтром с полным пропусканием.

На практике, конечно,  вычисляется с использованием ДПФ для конечного числа значений . Это обстоятельство вместе с другими эффектами численной обработки повлечет за собой появление в стабилизированном множестве коэффициентов знаменателя пространственного наложения, которое можно уменьшить увеличением размера ДПФ. Шоу и Мерсеро [13] обсуждают в деталях последствия численной реализации этой стратегии стабилизации и приводят несколько примеров.

Упражнения

5.1. Рассмотрим трехмерный БИХ-фильтр с передаточной функцией

.

Выходные значения этого фильтра нужны в диапазоне значений , ; ; , и выходные отсчеты вычисляются в таком порядке, что индекс  изменяется наиболее быстро, а  - наиболее медленно. Другими словами, выходные отсчеты вычисляются в порядке , , , …, , , ,….       

а)      Сколько потребуется слов памяти для хранения всех отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для последующих вычислений, если фильтр реализуется в прямой форме I? Считайте, что входные отсчеты поступают в том же порядке, в котором вычисляются выходные отсчеты.

б)      Сколько потребуется слов памяти, если реализовать фильтр в прямой форме II?

в)      В каком порядке следует организовать вычисления, если ,  и  не равны друг другу и единственным критерием является экономия памяти?

5.2. Пусть мы имеем каскадный двумерный БИХ-фильтр с передаточной функцией

,             где

, ,

,

и  - вещественное число. [Предполагается, что коэффициенты  также вещественны.]

а)      Составьте систему из двух разностных уравнений, которую можно использовать для нахождения выходного сигнала каскада из двух фильтров с результирующей передаточной функцией  при поступлении на вход сигнала . Обозначьте выходные сигналы первого фильтра каскада через , а всей системы - через .

б)      Сколько операций умножения и сложения потребуется для нахождения каждого отсчета из  в предположении, что как входные отсчеты, так и коэффициенты фильтра вещественны? Сколько арифметических операций потребуется на каждый отсчет из ?

в)      Теперь предположите, что разностные уравнения из п. «а» реализуются строка за строкой. Какая емкость памяти потребуется для вычисления  при , ? (Считайте, что , , ,  и памятью, требуемой для граничных условий, можно пренебречь.) Какая емкость потребуется для вычисления  при тех же значениях ?

г)      Пусть . Тогда  можно записать в виде

.

Составьте уравнение, связывающее ,  и . Какое значение имеет ? Составьте, используя коэффициенты , разностные уравнения, связывающие  и .

д)      Сколько потребуется умножений и сложений для вычисления каждого отсчета из  при использовании разностного уравнения из п. «г»? Сколько потребуется памяти для вычисления  при ,  с использованием разностного уравнения из п. «г»? (Снова памятью, требуемой для граничных условий, можно пренебречь.) Какая форма реализации  более эффективна, каскадная или прямая?

5.3. Хотя итерационные методы реализации, описанные в разд. 5.2, предназначены для реализации не вычисляемых рекурсивно БИХ-фильтров, мы тем не менее можем использовать этот прием для реализации каузальных одномерных и двумерных БИХ-фильтров, чтобы лучше понять его сущность. Начнем с простого одномерного случая.

а)      Предположим, что . Напишите соотношение, связывающее явным образом -преобразование входа  и -преобразование выхода  с учетом

.

Если , то что собой представляет последовательность ?

б)      Составьте итерационное уравнение во временной области, отвечающее явному соотношению -преобразований из п. «а». Выполните все операции свертки, не ограничиваясь обозначением свертки значком «».

в)      Пусть  обозначает выходной сигнал после  итераций по формуле в п. «б». Предположив, что , найдите , ,  и . Получите выражение для ошибки

.

5.4. Пусть . Найдите соответствующую итерационную реализацию в пространстве сигнала.

а)      Чему равно множество ?

б)      Пусть  обозначает выходной сигнал после -й итерации и . Найдите  и .

в)      Правильное решение  имеет вид

.

Если для получения оценки  используется итерационная реализация, то для каких точек первого квадранта справедливо равенство ? Постройте графическое изображение этой области.

5.5. В разд. 5.2.1 было показано, что итерационную реализацию рекурсивного фильтра можно интерпретировать как систему с обратной связью первого порядка, в которой в цепь обратной связи подается весь многомерный сигнал. Можно рассматривать также системы с обратной связью более высоких порядков.

а)      Воспользовавшись итерационным выражением, получите формулу, в которой  выражается через . Такие рекурсивные вычисления потребуют по сравнению с исходным рекурсивным выражением лишь половины итераций для достижения той же степени сходимости.

б)      Обобщите результат п. «а», чтобы найти рекурсивное выражение, которое потребует лишь  итераций по сравнению с исходным.

в)      Как соотносится сложность вычислений по рекурсивному выражению, полученному в п. «б», и по исходному уравнению (5.16)? За меру сложности примите число умножений, требуемых для вычислений эквивалента  итераций исходного алгоритма.

5.6. Пусть , где

.

а)      Для каких значений  и  наблюдается устойчивость  при условии, что опорной областью  является только один первый квадрант?

б)      Пусть . Можете ли вы найти какие-либо значения  и , при которых соблюдается устойчивость , но  не удовлетворяет критерию сходимости  для ? (Для простоты можно рассмотреть случай ).

в)      Можете ли вы найти такое вещественное положительное значение, что переопределенная функция

удовлетворяет критерию сходимости для всех значений  и , соответствующих устойчивости ?

5.7. В разд. 5.2.2. было показано, что использование постоянного параметра релаксации  расширяет класс фильтров, для которых можно найти сходящееся итерационное выражение. Этот параметр влияет также на скорость сходимости. Пусть, как и ранее,

и положим, что  для постоянной величины . Предположим для простоты, что функция  чисто вещественна и заключена в пределах

.

а)      Получите выражение для ошибки -й итерации через  и .

б)      Если  удовлетворяет указанным выше граничным условиям, как следует выбрать величину , чтобы минимизировать ошибку?

5.8. Рассмотрите разделимую КИХ-систему с передаточной функцией

.

Найдите направленный граф, который описывает эту систему и содержит только коэффициенты , , , ,  и .

5.9.

а)      Составьте систему разностных уравнений, соответствующих направленному графу, приведенному на рис. 5.20. Уравнения напишите в таком порядке, чтобы вычисление требуемых переменных выполнялось с минимальным объемом промежуточной памяти. Считайте, что выходной сигнал вычисляется строка за строкой.

б)      Позволят ли эти уравнения вычислять выходной сигнал столбец за столбцом?

5.10.

а)      Напишите последовательность разностных уравнений, реализующих схему, показанную на рис. У5.10.

Рис. У5.10.

б)      Какова передаточная функция этой схемы?

в)      Постройте направленный граф другой схемы с той же передаточной функцией.

5.11. Рассмотрите направленный граф, представленный на рис. У5.11.

Рис. У5.11.

а)      Получите выражение для передаточной функции

б)      Составьте соответствующее двумерное разностное уравнение, связывающее входной  и выходной  сигналы.

в)      Составьте для этого графа систему уравнений с переменными состояния. Пусть  обозначает горизонтальную переменную состояния, представляющую собой выход ветви  в середине графа, a  и  обозначают две вертикальные переменные состояния:  соответствует выходу левой ветви , a  - правой ветви .

г)      Используя выражение (5.64), покажите, что функция , вычисленная по матрицам, полученным в п. «в» (представление с переменными состояния), в сущности равна передаточной функции  (п. «а»),

д)      Можете ли вы найти другую реализацию для функции  с помощью переменных состояния, использующую только две такие переменные? Если можете, получите ее. (Указание. Рассмотрите данный направленный граф как пример реализации в прямой форме. Как будет выглядеть соответствующий граф для прямой формы II?) Убедитесь в том, что функция  для этой формы с двумя переменными действительно равна функции .

5.12. Пусть имеется двумерная система с двумя входами и двумя выходами, описанная с помощью переменных состояния следующим образом:

,

.

Здесь  и  - два входных сигнала,  и  - состояния. Пусть коэффициенты , , ,  являются скалярами с вещественными значениями. Определим теперь , ,  и  как -преобразования , ,  и  соответственно. Можно также определить матрицу передаточных функций  в виде

, где

; .

Получите выражение для  через константы , использованные в написанных выше выражениях с переменными состояния, и комплексные переменные  и .

5.13. Большинство алгоритмов синтеза, описанных в настоящей главе, требуют, чтобы последовательности коэффициентов числителя  и знаменателя  имели опорную область в первом квадранте. В данной задаче мы покажем, что любой фильтр с опорной областью на секторе можно синтезировать с помощью алгоритма синтеза фильтров первого квадранта.

Предположим, что требуется аппроксимировать идеальный отклик  импульсным откликом , который в качестве опорной области имеет сектор . Используем следующий метод:

1.      Находим линейное преобразование, которое отобразит сектор на первый квадрант.

2.      Используем это преобразование для отображения последовательности  на новую последовательность .

3.      Используем алгоритм синтеза фильтров первого квадранта для аппроксимации функцией  функции .

4.      Используем обратное преобразование для отображения функции  на .

а)      Если

,

где , ,  и  - целые числа и , как связаны  и ?

б)      Определите , ,  и , если выходная маска фильтра имеет форму, показанную на рис. У5.13.

Рис. У5.13.

5.14.      В разд. 5.4 мы показали, что

,

.

Покажите, что  и

.

5.15.

а)      Обобщите процедуру проектирования Шэнкса, чтобы можно было синтезировать БИХ-фильтр на несимметричной полуплоскости с передаточной функцией вида

.

б)      Опишите возможный выбор области , в которой необходимо минимизировать ошибку. Является ли этот выбор области  единственным?

5.16.      При синтезе фильтра с откликом  минимизируется ошибка , где сумма  конечна. Покажите, что отклик  будет устойчив в среднеквадратичном смысле, если суммирование выполняется по всей -плоскости. (Указание. Полезно использовать неравенство Шварца

.

5.17.      Часто синтезируемый рекурсивный фильтр должен быть симметричным. Один из подходов заключается просто в использовании симметричного идеального отклика и алгоритма без ограничений. Такой подход обычно дает положительные результаты, но требует слишком большого объема вычислений для оптимизации синтеза (больше, чем необходимо). Другой подход предполагает наложение ограничений в самом начале, чтобы уменьшить число степеней свободы при проектировании.

Рассмотрите синтез в частотной области с минимизацией функционала

и использованием метода линеаризации из разд. 5.5.1. Определите градиент функции , если выполняются требования:

 для ,

 для .

5.18. Фильтр имеет отклик , опорной областью которого является первый квадрант. Составной отклик, полученный параллельной реализацией четырех откликов, полученных вращением отклика , имеет вид

.

а)      Выразите составной частотный отклик  через . Считайте отклик  вещественным.

б)      Покажите, что результирующая реализация имеет нулевую фазу.

5.19.      Фильтр с откликом  имеет характеристики пропускания в области нижних частот, показанные на рис. У5.19,а. Найдите частотные преобразования , , которые позволят получить отклики, показанные на рис. У5.19, б-г.

Рис. У5.19.

5.20. Пусть последовательность двумерных коэффициентов отражения  имеет вид

; ; ; ;

 для всех остальных значений .

Определите полином , соответствующий последовательности .