4.3.2. Проверка устойчивости

В предыдущем разделе были сформулированы четыре теоремы об устойчивости. Эти теоремы сами по себе имеют косвенную ценность, если с их помощью нельзя создать численного алгоритма проверки устойчивости. О'Коннор [14] и Юри [15] тщательно исследовали возможности реализации тестов на устойчивость. Мы ограничимся здесь реализацией теста, основанного на теореме Де Карло-Стринтциса. В этом отношении мы будем следовать работе Шоу [16, 17].

Тест на устойчивость, который мы детально рассмотрим, состоит из трех частей, соответствующих условиям пп. «а», «б» и «в» теоремы Де Карло-Стринтциса. Условие п. «б» заключается в исследовании расположения корней одномерного полинома

              (4.78)

с целью убедиться в том, что  для . Это можно сделать, использовав таблицу Мардена-Юри [6,18] или обратившись к принципу аргумента [16, 17]. Принцип аргумента в своей общей формулировке утверждает, что полное приращение аргумента (фазы)  при обходе  по единичной окружности в направлении против часовой стрелки равно нулю тогда и только тогда, когда все корни  находятся внутри единичной окружности [как и раньше, предполагается, что  имеет опорную область в первом квадранте]. Условие п. «в» теоремы Де Карло-Стринтциса состоит в применении аналогичного теста к одномерному полиному

.              (4.79)

Наконец, полагая, что полином  прошел два одномерных теста, мы должны отыскать нули на единичной биокружности, или, что то же самое, отыскать нули спектра Фурье . Одним из способов, которым это можно сделать, является применение принципа аргумента для поиска траекторий корней, пересекающих единичную окружность  на диаграмме корней. Зафиксируем  и исследуем одномерный параметрический полином . Поскольку , все корни  находятся внутри единичной окружности. Тогда при некотором наборе дискретных значений  (и, следовательно, ) можно проверить распределение нулей , применяя принцип аргумента. Фактически это означает дискретизацию траектории на диаграмме корней . Если полное приращение фазы  не равно нулю после одного оборота  по единичной окружности, то по крайней мере один корень оказался вне единичной окружности. Для этого он должен был пересечь единичную окружность в некоторой точке, что означает в некоторой точке . Следовательно, фильтр неустойчив. Если мы тщательно исследовали таким способом , то нет нужды исследовать и , поскольку пересечение траектории корня и единичной окружности  означает пересечение траектории корня и единичной окружности  (и наоборот). На практике в качестве значений  принимают значения , так что коэффициенты параметрического полинома  можно вычислить с помощью быстрого преобразования Фурье.  следует выбирать достаточно большим с тем, чтобы точки дискретизации диаграммы корней были расположены довольно часто. Это необходимо для того, чтобы не пропустить траекторию корня, которая пересекает единичную окружность и тут же уходит обратно. Описанный тест все же оставляет невыявленным гипотетический случай, когда траектория корня подходит по касательной к единичной окружности, так что в какой-то точке , хотя фактического пересечения окружности не происходит [16,17].

Для обращения к принципу аргумента необходимо вычислить фазу одномерного полинома  при движении  по единичной окружности, или, что то же самое, фазу одномерного спектра Фурье . Обычно фазовую функцию можно определить в виде

                          (4.80а)

или

.                               (4.80б)

В обоих приведенных выражениях берется главное значение аргумента, поскольку функции арктангенса и комплексного логарифма многозначны. Однако использование главного значения может привести к искусственному нарушению непрерывности при переходе  через , что делает невозможным определение полного приращения фазы  при изменении  в пределах .

Эту трудность можно обойти, определив развернутую фазовую функцию  в виде интеграла производной фазы. Для удобства обозначений определим , . Затем, формально вычислив производную правой части выражения (4.80а) или (4.80б) и приравняв ее производной от , получим

.               (4.81)

Развернутая фазовая функция  при частоте  вычисляется путем интегрирования

.                                           (4.82)

Поскольку  - тригонометрический полином, производная от  и, следовательно, сама  будут непрерывными, если . Триболе [19] разработал эффективный алгоритм для выполнения этих вычислений.

Теперь для исследования устойчивости  можно применить принцип аргумента. Условие п. «б» теоремы Де Карло-Стринтциса будет выполняться, если полное приращение развернутой фазы полинома  будет равно нулю при изменении значения  в пределах . Это эквивалентно утверждению, что развернутая фазовая функция периодична. Аналогично условие п. «в» будет удовлетворяться, если, периодична развернутая фаза полинома . Наконец, условие п. «а» будет удовлетворяться, если развернутая фаза параметрического тригонометрического полинома  периодична при любом вещественном значении .

В случаях когда  очень близко подходит к нулю, алгоритм развертывания одномерной фазы может не дать результата. В подобной ситуации алгоритм проверки устойчивости, разработанный Шоу [16,17], выполняет локальный поиск минимума , чтобы определить, достигает ли он нуля. Если это не так, то фильтр теоретически является устойчивым, хотя на практике он может оказаться чувствительным к ошибкам в коэффициентах или к ошибкам округления, связанным с конечной длиной машинного слова, что делает его непригодным к употреблению.

Этот ряд одномерных тестов периодичности фазы можно рассматривать как вычисление двумерной развернутой фазовой функции для  и проверку ее непрерывности и двойной периодичности [6,14]. Двумерную развернутую фазовую функцию можно определить в виде

,                        (4.83)

где частные производные описываются формулами, аналогичными формуле (4.81). Эта функция будет непрерывна, если . Если она также периодична, т. е. если

,                                     (4.84а)

,                                     (4.84б)

то условие п. «б» теоремы Де Карло-Стринтциса выполняется, поскольку оно эквивалентно условию

.                                         (4.85)

Аналогично выполняется условие п. «в», поскольку оно эквивалентно условию

.                                          (4.86)

Условие п. «а» выполняется, если функция  непрерывна, что возможно только при . Эта непрерывность в свою очередь проверяется применением принципа аргумента либо к параметрическому полиному , либо к полиному  для проверки нарушения условия (4.84а) или (4.84б). Следовательно, теорему об устойчивости можно сформулировать с использованием понятия фазовой функции следующим образом [6,14]:

Теорема (О'Коннор)

Двумерный рекурсивный фильтр с частотным откликом  устойчив, если развернутая фазовая функция  непрерывна и дважды периодична.

Эта теорема не требует, чтобы последовательность  имела опорную область только в первом квадранте. Если  можно однозначно отобразить в первый квадрант с помощью линейного отображения, теорема остается справедливой, поскольку линейное отображение не изменяет непрерывности или периодичности развернутой фазы.

Подобная реализация теста на устойчивость требует выполнения ряда необходимых условий. Может случиться, что нестабильный фильтр пройдет этот тест, если дискретизация траектории корней не является достаточно подробной, чтобы не пропустить пересечения с единичной окружностью, или если траектория корня касается единичной окружности, но не пересекает ее. Однако степень уверенности, что фильтр действительно устойчив, определяется пользователем, выбирающим частоту дискретизации в тесте.

Тесты на устойчивость, использующие алгебраические методы [15] проверки на положительную определенность, теоретически однозначно определяют устойчивость фильтра. Однако на практике эти тесты трудно реализовать, и, кроме того, они чувствительны к шуму округления, связанному с конечной длиной машинного слова, что может поставить под сомнение выводы, полученные с их помощью [6, 14, 16, 17].