2.2. Многомерное дискретное преобразование Фурье

2.2.1. Определения

Периодическую последовательность можно легко построить из последовательности конечной протяженности. Например, пусть  - последовательность конечной протяженности, имеющая опорную область определяемую выражением (2.2). Тогда  можно определить как последовательность

.                                            (2.8)

Этот сигнал прямоугольно-периодичен с горизонтальным периодом  и вертикальным периодом  и, кроме того, обладает тем свойством, что в области , последовательности  и  равны. Последовательность  называется периодическим продолжением . Поскольку

                        (2.9)

ясно, что любая последовательность конечной протяженности полностью определяется своим периодическим продолжением и опорной областью.

Можно также рассматривать периодическую последовательность  как периодическое продолжение последовательности конечной протяженности из коэффициентов ряда Фурье . Следовательно,

 и                                                (2.10)

                      (2.11)

Поскольку  и  связаны равенствами (2.3) и (2.4), можно вычислить  и  одну из другой путем обратимой последовательности операций:

.                          (2.12)

Используя равенства (2.3), (2.4), (2.9) и (2.11), можно выписать дискретное преобразование Фурье

                     (2.13)

для ,  и

            (2.14)

для , .

В действительности все, что надо сделать, - это убрать значок «тильда» с соотношений для дискретного ряда Фурье. Тот факт, что дискретный ряд Фурье и дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - это в сущности одно и то же, означает, что многие свойства ДПФ имеют смысл только в том случае, если мы понимаем его как ряд Фурье. Например, если выражение (2.14) применяется для вычисления отсчетов  вне области  получаются не отсчеты , а отсчеты .

Фурье-преобразование последовательности конечной протяженности с опорной областью , описывается выражением

.                   (2.15)

Из сравнения (2.15) и (2.13) видно, что ДПФ состоит из отсчетов Фурье-преобразования

.                                            (2.16)

Выражение (2.16) содержит некоторую путаницу в обозначениях, поскольку величина  используется как для непрерывного, так и для дискретного Фурье-преобразования. В последующих обсуждениях станет ясно, какое из этих двух преобразований имеется в виду, так что недоразумений быть не должно.

Из рассмотрения теоремы отсчетов в гл. 1 известно, что сигналы с ограниченной полосой частот можно точно описать значениями их отсчетов в пространственной области. Здесь мы видим, что сигналы, ограниченные в пространстве (т. е. последовательности конечной протяженности) можно точно представить отсчетами их Фурье-преобразования. Далее, мы знаем, что дискретизация сигнала с неограниченной полосой частот приводит к наложению его спектра. Аналогично дискретизация Фурье-преобразования пространственно неограниченного сигнала для получения  и последующее вычисление  с помощью (2.3) приводят к пространственному наложению сигнала, описываемому как

.                                (2.17)

Последовательность  можно восстановить из , только если она пространственно ограничена областью, не большей чем . Таким образом, ДПФ представляет собой другой вариант применения теоремы отсчетов, когда производится дискретизация Фурье-преобразования сигнала, а не самого непрерывного сигнала.

Определение ДПФ можно распространить на многомерные последовательности. Пусть имеется -мерная последовательность с опорной областью , определяемой как

.                                            (2.18)

Пусть  - диагональная матрица с -м диагональным элементом, равным :

.                                                              (2.19)

При этом условии -мерное ДПФ можно записать в виде

,                                        (2.20)

.                              (2.21)

(Как и раньше,  - транспонированная векторная переменная .)

Пример 2

Вычислим трехмерное ДПФ -точечной последовательности, определенной следующим образом:

                      (2.22)

ДПФ этой последовательности можно найти, принимая во внимание, что в области  последовательность эквивалентна

, .

Используя выражение (2.20) и вводя сокращенное обозначение  для комплексной экспоненты , получим

,

               (2.23)

Пример 3

Рассмотрим обратное двумерное ДПФ -точечной последовательности, заданной соотношением

                     (2.24)

где  и .

Последовательность  выражается следующим образом:

.                  (2.25)

Элементы этой последовательности являются комплексными числами из-за комплексного экспоненциального множителя в выражении (2.25). Отбросим на время этот множитель и представим оставшийся множитель как функцию  на рис. 2.3. Можно показать, что рис. 2.3 представляет собой вариант импульсного отклика идеального фильтра нижних частот (равенство (1.86)1 с пространственным наложением.

Рис. 2.3. Амплитуда сигнала , приведенного в примере 3, для случая , .