2.2.2. Свойства дискретного преобразования Фурье

На примере двумерного случая кратко рассмотрим свойства многомерного ДПФ.

Линейность. Из определения ДПФ ясно, что если две последовательности имеют опорные области на , то ДПФ их суммы будет суммой их ДПФ. В более общем случае, если  и  - произвольные последовательности конечной протяженности и если  и  - произвольные комплексные константы, то

.                              (2.26)

Справедливо также обратное утверждение: если сложить два ДПФ, обратное ДПФ суммы будет суммой двух отдельных обратных ДПФ. Единственное предостережение по применению этого свойства состоит в том, что все ДПФ должны быть одного размера. Далее, размер должен быть достаточным, чтобы включать всю опорную область последовательности . Это означает, что  и  должны иметь одну и ту же опорную область, поскольку опорная область любой из последовательностей может быть расширена за счет присоединения отсчетов с нулевым значением.

Например, пусть  определена в опорной области  и пусть  имеет опорную область . Пусть , . Определим две расширенные последовательности следующим образом:

                  (2.27а)

.                 (2.27б)

Последовательности  и  имеют опорную область на , и

.                                                                                    (2.28)

Размер области  в данном случае определяет параметры ДПФ.

Циклические сдвиги. В гл. 1 было показано, что если сигнал линейно сдвинуть по координате, то его Фурье-преобразование умножается на комплексную экспоненту. ДПФ имеет аналогичное свойство: если последовательность конечной протяженности подвергнуть циклическому сдвигу, то ее ДПФ умножается на комплексную экспоненту.

Рассмотрим периодическую последовательность  с горизонтальным и вертикальным периодами  и  и с дискретными коэффициентами ряда Фурье . Пусть  - результат сдвига

.                                                       (2.29)

Коэффициенты дискретных рядов Фурье последовательностей  и  связаны соотношением

.                                                 (2.30)

Поскольку  и  связаны равенством (2.29), последовательность конечной протяженности , определенная как

             (2.31)

получается путем циклического сдвига , т. е.

,          ,                    (2.32)

где обозначение  соответствует тому, что целочисленная переменная  взята по модулю . [Если , то  и существует целочисленная величина , такая что .] Понятие циклического сдвига взято из терминологии одномерной цифровой обработки сигналов: оно выражает идею, что значения отсчетов, которые выдвигаются из опорной области слева (или сверху), снова появляются на ее правом (или нижнем) краю.

ДПФ  определяется для  следующим образом:

.   (2.33)

Объединяя выражения (2.32) и (2.33), получим

.                                   (2.34)

Свойства симметрии вещественных . До сих пор при обсуждении ДПФ, не предполагалось, что последовательность конечной протяженности содержит только отсчеты с вещественными значениями. Действительно, все полученные результаты справедливы как для вещественных, так и для комплексных . Однако, как и в случае одномерного дискретного преобразования Фурье, если известно, что  является последовательностью вещественных чисел, ДПФ удовлетворяет определенным соотношениям симметрии. Если  вещественно, то

,                                                    (2.35)

где звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения. Поскольку

, то

.                    (2.36)

Таким образом, если сигнал является чисто вещественным, то его ДПФ обладает эрмитовой симметрией в указанном смысле. Равенство (2.36) означает, что

,                          (2.37а)

.                                   (2.37б)

Тем же путем можно определить эрмитово-симметричные и антисимметричные компоненты комплексной последовательности конечной протяженности следующим образом:

,                (2.38а)

.                (2.38б)

Поскольку

                                                    (2.39)

(см. упр. 2.7), отсюда следует, что

,                                (2.40а)

.                 (2.40б)

Таким образом, эрмитово-симметричная часть сигнала преобразуется в вещественную часть ДПФ, а эрмитово-антисимметричная часть сигнала преобразуется в умноженную на  мнимую часть ДПФ.

Отражение. Эти свойства в основном такие же, как аналогичные свойства преобразования Фурье в гл. 1, если принимать во внимание периодичность ДПФ. Легко можно показать, что если

, то                                                              

,                                                                    (2.41а)

,                   (2.41б)

,                  (2.41в)

.

Теорема Парсеваля:

.                     (2.42)

Дуальность. Если  - ДПФ , то что такое ДПФ ? В силу подобия прямого и обратного выражений для ДПФ можно ожидать, что результат будет тесно связан с . Умножим обе части равенства (2.14) на  и возьмем комплексно- сопряженные величины. Тогда получим

.                                    (2.43)

Равенство (2.43) теперь имеет такой же вид, как и (2.13). Тогда если

, то                                                                          

.                                                       (2.44)

Это свойство известно как свойство дуальности.

Модуляция. Свойство модуляции состоит в том, что если последовательность умножается на комплексную экспоненту, ее ДПФ испытывает циклический сдвиг. Раскрывая обе части равенства (2.34), получим

.              (2.45)