5.7. Методы стабилизации

В этом разделе мы кратко опишем два метода, с помощью которых можно попытаться сделать устойчивым (стабилизировать) неустойчивый двумерный БИХ-фильтр. В идеале в методах стабилизации не было бы необходимости, если бы все алгоритмы синтеза БИХ-фильтров давали только устойчивые фильтры. Некоторые из алгоритмов, которые обсуждались в настоящей главе, включают проверку на устойчивость или минимизацию ошибки устойчивости, что обеспечивает устойчивость проектируемых фильтров. Однако исторически ранние алгоритмы проектирования двумерных БИХ-фильтров не контролировали устойчивость фильтров, и возникала необходимость в специальных методах стабилизации для преобразования неустойчивого фильтра, полученного в результате синтеза, в полезный устойчивый фильтр.

В общем случае целью любого метода стабилизации является такое преобразование неустойчивого БИХ-фильтра с откликом  в устойчивый БИХ-фильтр с откликом , чтобы сохранялся модуль отклика

.                          (5.193)

За исключением редкого случая несущественной особенности второго рода (гл. 4), полином-числитель не влияет на устойчивость БИХ-фильтра. Поэтому, чтобы БИХ-фильтр был устойчив, последовательность коэффициентов его знаменателя должна обладать свойством минимальной фазы. Далее, если мы хотим реализовать фильтр с помощью рекурсивно вычислимого двумерного разностного уровня конечного порядка, величина  должна быть последовательностью конечной протяженности с соответствующей опорной областью (например, четверть плоскостной или несимметричной полуплоскостной).

5.7.1. Кепстральный метод стабилизации

Кепстральный метод стабилизации основан на том соображении, что комплексный кепстр сигнала с минимальной фазой имеет ту же опорную область, что и сам сигнал (разд. 4.4.3). В разд. 4.4.4 мы уже видели, как из произвольной последовательности можно так сформировать последовательность с минимальной фазой, чтобы сохранилась амплитуда спектра. Прежде всего построим (в обозначениях разд. 4.4.4) автокорреляционную функцию массива , характеризующего неустойчивый знаменатель

.             (5.194)

Затем вычислим Фурье-спектр  от функции , который будет вещественным и неотрицательным. Далее возьмем логарифм от  (если эта функция строго положительна) и выполним обратное преобразование Фурье. В результате получим кепстр , который обладает свойством

.                                        (5.195)

После этого можно получить кепстр требуемой последовательности с минимальной фазой, умножив  на несимметричную полуплоскостную функцию окна

.                               (5.196)

Наконец, с помощью вычислений, обратных тем, которые выполняются для нахождения кепстра, из  получается .

В идеальном случае  будет последовательностью с минимальной фазой и, следовательно, соответствовать знаменателю устойчивого двумерного БИХ-фильтра. На практике имеется несколько потенциальных трудностей. Во-первых, этот метод не позволит стабилизировать фильтр, если  равно нулю на какой-то частоте. Во-вторых,  обычно содержит бесконечное число ненулевых значений, что исключает реализацию фильтра путем вычислений конечного объема. В-третьих, использование ДПФ для выполнения необходимых преобразований Фурье приводит к наложениям в вычисленных значениях ,  и . В результате полученный набор коэффициентов  может в действительности соответствовать неустойчивому фильтру!

Несмотря на эти потенциальные трудности, метод стабилизации с использованием кепстра оказался полезным. Проблему пространственных наложений можно в какой-то степени устранить увеличением размеров используемых ДПФ. Это, конечно, увеличивает объем вычислений. Пространственную протяженность множества  можно ограничить с помощью окна [36] и, если множество  все еще дает неустойчивый фильтр, придать окну экспоненциальную форму, чтобы любые потенциально опасные корни полинома  попали внутрь единичной биокружности. Ограничение множества  окном приведет к несохранению спектральной амплитуды, однако во многих случаях вносимые отклонения несущественны.