3.6.2. Синтез гексагональных КИХ-фильтров

Большинство алгоритмов синтеза, разработанных для двумерных прямоугольных КИХ-фильтров, можно адаптировать для синтеза гексагональных фильтров. Например, нетрудно перенести на этот случай метод окон. Если  - требуемый гексагональный отклик, то для синтеза гексагонального фильтра необходимо положить

,                                 (3.106)

где последовательность , описывающая функцию окна, имеет ту же опорную область, что и синтезируемый фильтр. Функцию  можно образовать из одномерного окна  двумя способами: с помощью прямого произведения

               (3.107)

и путем вращения

.               (3.108)

(Во втором случае используется непрерывное одномерное окно). Первое окно имеет гексагональную опорную область, второе - круглую. Какой способ лучше для синтеза гексагонального фильтра, пока неизвестно. На рис. 3.18 приведен пример фильтра, синтезированного с использованием гексагонального окна, которое было сформировано с помощью прямого произведения одномерных окон.

Рис. 3.18. Отклик КИХ-фильтра нижних частот, синтезированного с использованием прямоугольного окна с опорной областью гексагональной формы.

Гексагональный фильтр содержит 363 отсчета и обладает симметрией 12-го порядка.

а - перспективная проекция; б - контурная диаграмма. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [21]. © 1979 IEEE.)

Гексагональный КИХ-фильтр с равновеликими пульсациями также можно синтезировать с непосредственным использованием тех же принципов, которые были предложены для синтеза прямоугольных КИХ-фильтров с равновеликими пульсациями, поскольку аппроксимирующий частотный отклик линейно зависит от неизвестных параметров фильтра. Поэтому аппроксимация по-прежнему имеет форму (3.42), но базисные функции  будут, очевидно, не такими, как в прямоугольном случае. Их конкретная форма будет зависеть от наличия и вида симметрии, присущей импульсному отклику.

Для синтеза гексагональных КИХ-фильтров можно адаптировать и метод трансформации. В отличие от того, что описано в разд. 3.5.3, в качестве трансформирующей функции следует использовать частотный отклик гексагонального фильтра низкого порядка с нулевой фазой, а не отклик прямоугольного фильтра. В случае 1-го порядка эта функция принимает вид

.                     (3.109)

Выбрав , , можно для малых значений  получить почти круговые эквипотенциали, как это показано на рис. 3.19. На рис. 3.20 изображен частотный отклик гексагонального фильтра нижних частот с , при синтезе которого в качестве прототипа использовался одномерный фильтр нижних частот. Фильтр предназначен для пропускания частотных компонент  и подавления компонент вне этой полосы. Такие фильтры также допускают эффективную реализацию [21].

Рис. 3.19. Линии постоянного значения для трансформирующей функции (3.109) при , . (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [21], © 1979 IEEE.)

Рис. 3.20. Частотный отклик гексагонального КИХ-фильтра с , синтезированного с использованием гексагональной трансформации, изображенной на рис. 3.19.

(С любезного согласия Расселла M. Мерсеро [21]. © 1979 IEEE.)

Упражнения

3.1. Если импульсный отклик  двумерного КИХ-фильтра удовлетворяет условиям симметрии , то  является чисто вещественной функцией, и мы имеем фильтр с нулевой фазой. Это обстоятельство можно использовать при реализации фильтра.

а)      Предположим, что КИХ-фильтр удовлетворяет условиям нечетной симметрии . Что можно сказать о его частотном отклике?

б)      Покажите, как можно использовать эту симметрию для модификации непосредственной реализации фильтра.

в)      Выполните пп. «а» и «б» для КИХ-фильтра, удовлетворяющего условиям симметрии 1) , 2) .

3.2. Пусть имеется массив данных объемом  точек. Требуется пропустить этот массив через КИХ-фильтр с нулевой фазой протяженностью  точек.

а)      Сколько надо выполнить комплексных умножений и какой потребуется объем памяти для реализации фильтра с помощью ДПФ, вычисляемого на основе алгоритма разбиения на строки и столбцы, при ? (Считайте, что размерность БПФ должна составлять степень числа 2.)

б)      Сколько потребуется вычислительных операций и каков требуемый объем памяти с учетом условия нулевой фазы, если фильтр реализуется методом прямой свертки?

в)      Если бы имелся неограниченный объем памяти и единственная проблема заключалась в числе умножений, для какого минимального значения  предпочтительной является использование БПФ?

3.3. Пусть требуется выполнить фильтрацию -точечного массива -точечным КИХ-фильтром с нулевой фазой. Наличная первичная память ЭВМ для хранения отсчетов входного массива позволяет записывать до 4096 комплексных слов. Как вы будете реализовывать фильтр? Обоснуйте ваш ответ.

3.4. Пусть требуется выполнить фильтрацию -точечного изображения -точечным вещественным КИХ-фильтром. Если реализовывать этот фильтр с помощью секционированной свертки методом перекрытия с накоплением, то можно рассмотреть использование: 1) -точечных ДПФ; 2) -точечных ДПФ; 3) -точечных ДПФ; 4) -точечных ДПФ; 5) -точечных ДПФ.

а)      Определите для каждого случая, сколько потребуется выполнить ДПФ. (Считайте, что каждая свертка требует двух ДПФ.)

б)      Сколько комплексных умножений потребуется в каждом из пяти случаев? Для того чтобы выполнить вычисления, примите, что -точечное ДПФ требует  комплексных умножений.

в)      Чему равен оптимальный размер секции в данном примере? Сравните число умножений при использовании секций оптимального размера и при реализации методом прямой свертки.

3.5. Функция двумерного окна получена с помощью прямого умножения одномерного окна на себя:

.

Фурье-спектр одномерного окна имеет главный лепесток шириной , а высота самого большого из боковых лепестков равна . Каковы будут ширина главного лепестка и высота бокового двумерного окна?

3.6. Пусть требуется синтезировать двумерный КИХ-фильтр с использованием вращающегося окна Кайзера, частотный отклик которого составляет (приблизительно)

.

Используя формулы, представленные в этой главе, а) определите порядок фильтра; б) определите значение параметра  окна Кайзера; в) найдите выражение для импульсного отклика фильтра.

Можете ограничиться выражением ответа через соответствующие функции Бесселя.

3.7. Пусть  обозначает частотный отклик -точечного фильтра с нулевой фазой. Этот фильтр используется в схеме, показанной на рис. У3.7, для построения другого фильтра с нулевой фазой, имеющего частотный отклик .

Рис. У3.7.

а)      Каков размер импульсного отклика ?

б)      Пусть требуется, чтобы частотный отклик фильтра  удовлетворял следующим условиям:

 при ,

 при .

Если  синтезируется методом окон с использованием вращающегося одномерного окна Кайзера, каков должен быть порядок фильтра , чтобы фильтр  удовлетворял написанным выше условиям? [Указание. Для решения этой задачи определите, как ошибки в полосах пропускания и непропускания отклика  влияют на .]

в)      Предположим теперь, что с помощью вращающегося окна Кайзера строится одиночный фильтр  с тем же числом умножений, что и в приведенной выше каскадной схеме. Каковы будут ошибки в полосах пропускания и непропускания при той же ширине переходной полосы, что и для фильтра ?

3.8. Пусть требуется синтезировать -точечный фильтр с нулевой фазой методом наименьших квадратов. Частотный отклик фильтра  изображен на рис. У3.8, где заштрихованные участки соответствуют значению частотного отклика, равному 1, а светлые - равному 0. Для уменьшения числа степеней свободы аппроксимации зададимся следующими условиями для аппроксимирующей функции: 1)  чисто действительна; 2) ; 3) . Фильтр  должен иметь опорную область .

Рис. У3.8.

а)      Фильтр имеет всего 25 коэффициентов. Сколько из них линейно независимы? Выразите зависимые коэффициенты через независимые.

б)      Выразите частотный отклик аппроксимирующего фильтра  в виде линейной комбинации только независимых коэффициентов импульсного отклика с соответствующим набором базисных функций.

в)      Найдите выражение для оптимальных значений независимых коэффициентов фильтра, если они выбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратичную погрешность. Сами интегралы не вычисляйте.

3.9.        Частотный отклик семейства КИХ-фильтров можно выразить в виде

.

Требуется найти член этого семейства, который оптимально аппроксимирует заданный отклик  при ограничении . Покажите, что эта задача аппроксимации с ограничением может быть решена путем нахождения отклика

,

который оптимально аппроксимирует  без ограничений. Найдите , ,  и , выразив их через нештрихованные величины.

3.10. Рассмотрите задачу аппроксимации идеального фильтра нижних частот с откликом

фильтром с импульсным откликом

Какие значения ,  и  минимизируют ошибку

?

3.11. Итерационные алгоритмы синтеза фильтров, как, например, алгоритм, определенный выражением (3.54), часто требуют вычисления частных производных функции ошибки по неизвестным параметрам.

а)      Определим ошибку следующим образом:

.

Вычислите градиент  по независимым коэффициентам , если

.

б)      Повторите эти вычисления для коэффициентов  при каскадной реализации фильтра

.

3.12. Рассмотрим -точечный массив ; ; ; .

а)      Сформируйте разделимую аппроксимацию этого массива, как это описано в разд. 3.5.2.

б)      Какова нормализованная среднеквадратичная ошибка такой аппроксимации?

3.13.      Рассмотрим многоступенчатый разделимый фильтр, показанный на рис. 3.9. Пусть протяженность каждого из откликов  и  равна  точек.

а)      Сколько требуется слов памяти для реализации фильтра, если входная последовательность имеет протяженность ? Считайте, что входной сигнал доступен только построчно.

б)      Какая потребуется емкость памяти, если реализовать фильтр непосредственно как двумерный КИХ-фильтр?

3.14. Хотя для выбора трансформирующей функции разработаны специальные процедуры, часто хорошие результаты достигаются эвристическими приемами, так как трансформирующие функции обычно содержат небольшое число свободных параметров. Такие приемы могут состоять в определении отображений для отдельных ключевых частот. В качестве примера рассмотрим синтез фильтра, аппроксимирующего отклик, показанный на рис. У3.8, с помощью трансформации первого порядка вида

.

а)      Найдите подходящие значения для , ,  и . Обоснуйте свой ответ.

б)      Изобразите отклик одномерного фильтра-прототипа, используемого с этой трансформацией.

3.15. Пусть требуется синтезировать трехмерный сферически-симметричный фильтр нижних частот с нулевой фазой, используя метод трансформации с трансформирующей функцией первого порядка вида

Эта трансформация после подстановки

превратит частотный отклик  одномерного фильтра-прототипа с нулевой фазой в трехмерный отклик . Выберите параметры трансформации  так, чтобы трансформация имела следующие свойства:

1.       отображалось на .

2.      .

3.      . (Это обеспечит равенство откликов по осям отклику прототипа.)

4.      .

3.16. Трансформирующей функцией для трансформации 2-го порядка является частотный отклик -точечного фильтра с нулевой фазой. Пусть эта функция используется с -точечным одномерным фильтром с нулевой фазой для реализации двумерного фильтра.

а)      Сколько потребуется умножений для вычисления значения одного отсчета выходной последовательности?

б)      Сколько потребуется умножений на один выходной отсчет, если тот же частотный отклик реализован прямой сверткой?

в)      Какой объем памяти потребуется для реализации этого фильтра?

3.17. Покажите, что любой фильтр, синтезированный с помощью трансформации Мак-Клеллана, можно реализовать в каскадной форме.

3.18. Абраматик и Фогерас [20] предложили схему двумерного КИХ-фильтра, изображенную на рис. У3.18. Пусть ,  и  являются -точечными импульсными откликами двумерных КИХ-фильтров с нулевой фазой (с центрами в начале координат).

Рис. У3.18.

а)      Какой размер имеет эквивалентный импульсный отклик всей системы?

б)      Сколько требуется умножений на один выходной отсчет?

в)      Сколько потребуется умножений на один выходной отсчет, если система реализуется с использованием прямой свертки с эквивалентным импульсным откликом?

3.19. Пусть требуется синтезировать гексагональный КИХ-фильтр с нулевой фазой и равновеликими пульсациями. При этом желательно максимально возможное приближение к круговой симметрии. Это значит, что импульсный отклик должен удовлетворять условиям симметрии

Эта задача может быть сформулирована как линейная задача аппроксимации вида

.

Определите коэффициенты  через коэффициенты импульсного отклика фильтра и найдите набор , при котором минимизируется число параметров, определяемых при синтезе. Получите отношение числа степеней свободы  к размеру фильтра. [Эквивалентное результаты для прямоугольного фильтра, даны в (3.46).]

3.20. Метод трансформации, нашедший применение при синтезе КИХ-фильтров с нулевой фазой, можно использовать при синтезе как прямоугольных, так и гексагональных фильтров. Это делается с помощью подстановки

в частотный отклик одномерного фильтра-прототипа с нулевой фазой. В случае трансформации 1-го порядка трансформирующая функция имеет вид

.

а)      Найдите импульсный отклик гексагонального КИХ-фильтра с нулевой фазой, частотный отклик которого равен .

б)      Если этот фильтр используется в схеме, показанной на рис. 3.15, сколько потребуется операций умножения на каждый отсчет выходного сигнала? Считайте, что отклик одномерного фильтра-прототипа имеет протяженность  точек.

в)      Сколько отсчетов содержится в импульсном отклике всего фильтра в целом?