4.2.4. Передаточные функции систем, описываемых разностными уравнениями

Рассмотрим двумерную линейную инвариантную к сдвигу (ЛИС) систему, описываемую разностным уравнением

.                    (4.51)

Поскольку система линейна и инвариантна к сдвигу, последовательность  является ее собственной функцией, и выходной сигнал, соответствующий этому входному сигналу, имеет вид . Подставив его в (4.50), получим, что

                     (4.52)

или

.                                    (4.53)

Таким образом, передаточная функция системы, описываемой разностным уравнением, является отношением -преобразований коэффициентов  и . Поскольку каждый из этих массивов имеет конечную опорную область, их -преобразования являются полиномами. Для маски первого квадранта, показанной на рис. 4.2, передаточная функция дается выражением

                                                     (4.54)

при условии, что входная маска имеет тот же размер, что и выходная. Несимметричный полуплоскостной фильтр, аналогичный приведенному на рис. 4.5, имеет передаточную функцию вида

,                  (4.55)

где снова принято, что входная маска имеет ту же форму, что и выходная. Эта передаточная функция содержит только положительные степени , а также положительные и отрицательные степени переменной .

В случае одномерной передаточной функции чрезвычайно полезно иметь возможность определить ее полюсы и нули. Это можно сделать также и в двумерном случае. Мы будем говорить, что  имеет нуль в точке , если  и . Аналогично будем говорить, что  обладает особенностью в точке , если . Хотя мы часто будем называть такую особенность полюсом, следует признать, что такой термин не является законным, так как многомерные полюсы и нули совершенно отличны от своих одномерных аналогов. Нули одномерных полиномов появляются в изолированных точках -плоскости, в то время как многомерные нули являются в общем случае непрерывными поверхностями. Например, рассмотрим простой полином

.                                                       (4.56)

Нули этого полинома определяются соотношением

                                                                                (4.57)

и образуют непрерывную поверхность в четырехмерном пространстве. Так, если  перемещается по единичной окружности в плоскости , соответствующие значения , для которых , очерчивают окружность радиуса  в плоскости .

В качестве более общего примера рассмотрим передаточную функцию, описываемую выражением (4.54),

.                                 (4.58)

Обозначения, принятые в последнем выражении, нуждаются в комментарии. Функция  является полиномом с постоянными коэффициентами от двух переменных. Можно также интерпретировать  как полином от одной переменной, скажем , коэффициенты которого в свою очередь являются одномерными полиномами от параметра . Чтобы подчеркнуть такую интерпретацию, мы будем применять обозначение .  можно также интерпретировать как , являющуюся полиномом от переменной , с коэффициентами, представленными в виде полиномов переменной . Если  фиксирована, стоящий в знаменателе полином  можно разложить на множители. Это дает  корней, причем каждый корень соответствует особой точке, в которой . Если зафиксировать другое значение , то  снова можно разложить на множители. Это даст другие особые точки. Таким образом, положение полюсов и нулей  по отношению к переменной  является функцией , и наоборот.

Диаграмма корней является двумерным графом, очень полезным для исследования устойчивости ЛИС-систем. Она состоит из двух частей - одна часть изображает траектории корней  при движении параметра  по единичной окружности  для , другая часть изображает траектории корней  при движении параметра  по единичной окружности . Если рассматривать условие  как алгебраическое отображение -плоскости в -плоскость, то можно считать, что диаграмма корней дает изображение единичной окружности  в плоскости , и наоборот. На рис. 4.19 приведено несколько примеров диаграмм корней полиномов в знаменателе передаточной функции двумерных фильтров нижних частот [17]. [Поскольку для этих фильтров , обе части каждой из диаграмм корней идентичны.] Протяженность выходных масок менялась от  до  точек. Даже для этих простых полиномов диаграммы корней могут быть весьма сложными.

Рис. 4.19. Некоторые примеры диаграмм корней (каждая из них соответствует полиному в знаменателе передаточной функции фильтра нижних частот).

а - маска  точки; б - маска  точки; с - маска  точек (фильтр нестабилен); г - маска  точек. (С любезного согласия Гэрн А. Шоу и Расселла М. Мерсеро [17].)

Если не существует полинома (отличного от константы), на который делятся одновременно полином-числитель и полином-знаменатель рациональной передаточной функции, мы будем называть числитель и знаменатель взаимно простыми. Если двумерный полином нельзя разложить на произведение полиномов низшего порядка, полином называют несводимым. Двумерный рациональный полином  является несводимым, если его полином- числитель и полином-знаменатель взаимно простые. Однако заметим, что это не означает несводимость отдельно взятых полиномов  и .

Даже если передаточная функция  несводима, могут существовать отдельные значения , при которых  и  одновременно равны нулю. Такие точки называются несущественными особенностями второго рода. В одномерном случае аналога этого типа двумерной особенности нет. Полезность полюсов в одномерном случае частично связана с основной теоремой алгебры, гласящей, что любой одномерный полином степени  можно разложить на произведение  полиномов степени 1. Это позволяет рассматривать любую передаточную функцию высокого порядка как последовательное соединение  систем первого порядка, каждая из которых может быть описана своим полюсом. В этом случае каждый полюс можно рассматривать изолированно. К сожалению, для многомерных полиномов подобной основной теоремы не существует. Редко бывает, чтобы многомерный полином поддавался разложению на множители. Поэтому в двумерном случае, вообще говоря, невозможно выделить особенности, если передаточная функция специально не сконструирована так, чтобы она раскладывалась на множители.