5.2. Итерационные методы реализации двумерных БИХ-фильтров [3,4]

Рассмотрим другой подход к решению проблемы реализации двумерного цифрового фильтра с рациональной передаточной функцией. Во многих приложениях, например в обработке изображений, все отсчеты сигнала имеются одновременно; другими словами, весь сигнал хранится в памяти ЭВМ и может полностью использоваться в процессе вычислений. (В противоположность этому при обработке одномерных сигналов реального времени в вычислениях могут участвовать лишь значения отсчетов, относящиеся к прошлому.) В этом случае представляется целесообразным обрабатывать выходной сигнал совместно с входным для формирования новой итерации выходного сигнала. Такая итерационная реализация использует известную концепцию обратной связи для последовательного формирования все лучших и лучших аппроксимаций требуемого выходного сигнала.

5.2.1. Базовая итерационная схема

Одним из побудительных мотивов использования принципа итерации является стремление получить БИХ-фильтры с импульсными откликами, которые нельзя реализовать в рекурсивной форме. В одномерном случае передаточную функцию БИХ-фильтра можно разложить на множители так, что в ней выделяются каузальная и антикаузальная части, которые можно реализовать раздельно с помощью разностных уравнений. Однако в случае двух и более измерений отсутствие основной теоремы алгебры о разложении на множители затрудняет использование такого подхода, вынуждая нас либо прибегать к приближенной факторизации, либо синтезировать лишь передаточные функции, факторизуемые явным образом. Итерационная реализация представляет третью возможность и, кроме того, как это будет показано ниже, дает нам способ учитывать граничные условия (разд. 5.2.3).

Чтобы сделать обозначения несколько менее громоздкими, опишем итерационную реализацию с помощью частотного отклика КИХ-фильтра , а не его передаточной функции . В общем случае  можно представить как

,               (5.10)

где  и  являются последовательностями конечной протяженности. Как и ранее, будем считать, что отношение нормировано, так что .

Определим теперь новый тригонометрический полином

.                                                               (5.11)

Тогда можно записать

.                                        (5.12)

Если считать, что  - спектр входного сигнала , а  - спектр выходного сигнала  и что  и  ограничены, то

.                       (5.13)

Умножив выражения справа и слева от знака равенства на  и переставив сомножители, получим неявное соотношение

.              (5.14)

В пространственной области это выражение принимает вид

,               (5.15)

где, как и ранее, две звездочки означают двумерную свертку.

Выражения (5.14) и (5.15) определяют неявное соотношение между входным и выходным сигналами и коэффициентами БИХ-фильтра, однако они совсем не обязательно указывают удобный или даже осуществимый способ вычисления последовательности  по данному сигналу . Предположим, однако, что мы располагаем хорошей оценкой значения выходного сигнала. Подставив это значение в правую часть выражения (5.15) вместо , можно получить лучшее приспособление к . Естественно, этот процесс можно продолжить. Пусть  представляет собой -е приближение к истинному выходному сигналу . Тогда -е приближение можно найти из соотношения

.                     (5.16)

В частотной области этому соотношению соответствует

.                      (5.17)

Зададимся теперь вопросом: сходится ли последовательность приближений  к истинному выходному сигналу ? Ответить на этот вопрос легче, рассматривая частотную область. Для удобства будем считать, что , тогда

,                                                             (5.18а)

                    (5.18б)

и т. д. На -й итерации получим

.                                  (5.19)

Поскольку

,                                                               (5.20)

то

.                                  (5.21)

Далее, если принять, что

, то                                                                                        (5.22)

,                                 (5.23)

что и требовалось. В сущности, каждая итерация уравнения (5.17) порождает новый член бесконечной геометрической прогрессии. Если условие (5.22) выполняется, то прогрессия сходится. В этом случае можно доказать, что при   равномерно сходится к , a  равномерно сходится к .

Поскольку  и  - массивы конечной протяженности, вычисления, выполняемые на каждой итерации, являются операциями КИХ-фильтрации. Таким образом, рациональный частотный отклик  двумерного БИХ-фильтра можно получить с помощью бесконечного числа операций КИХ-фильтрации.

Можно представить себе описанную итерационную процедуру (5.16) как фильтрацию простым цифровым фильтром первого порядка, обрабатывающим не последовательность значений отсчетов, а последовательность сигналов. Чтобы лучше пояснить эту аналогию, слегка обобщим входной сигнал, рассматривая его как функцию номера итераций , т. е. в виде . Для рассмотренного выше частного случая можно считать, что  - одномерная ступенчатая функция переменной , умноженная на :

.                                                                           (5.24)

При такой обобщенной трактовке входного сигнала выражение (5.16) принимает вид

.                    (5.25)

Этой формуле соответствует структурная схема, приведенная на рис. 5.7. На каждой итерации оценка выходного сигнала поступает в цепь обратной связи. Оператор ПАМЯТЬ сохраняет результаты предыдущей итерации; он аналогичен одномерному оператору сдвига, которому в структурных схемах одномерных цифровых фильтров обычно соответствует блок . Однако в данном случае оператор ПАМЯТЬ сохраняет не значение одного отсчета, а весь сигнал.

Рис. 5.7. Структурная схема итерационной реализации отклика . (С любезного согласия Дэна Е. Даджиона [3]. © 1980 IEEE.)

Условие сходимости итераций  является очень сильным ограничением. (В следующем разделе мы рассмотрим некоторые возможности ослабления или снятия этого ограничения.) Не все устойчивые двумерные БИХ-фильтры удовлетворяют этому условию сходимости. Если , БИХ-фильтр устойчив в смысле ОВВ. Очевидно, что условие сходимости итераций  является гораздо более сильным ограничением, чем условие устойчивости.

Проведение бесконечного числа итераций требует бесконечного объема вычислений. На практике ограничиваются конечным числом итераций, в результате чего сигнал  оказывается лишь аппроксимацией требуемого сигнала . Естественно рассмотреть величину ошибки аппроксимации. Это легче сделать в частотной области. Фурье-спектры сигналов  и  связаны формулой

.             (5.26)

В идеале отношение комплексных функций  должно равняться единице; поэтому абсолютное значение разности этого отношения и единицы можно принять в качестве меры ошибки вследствие ограничения вычислений -ми итерациями. Приняв, что  описывает спектральную ошибку как функцию от частоты, получим

.                      (5.27)

Если задать допустимый уровень спектральной ошибки в некоторой полосе частот  с помощью условий

 для                                           (5.28)

( является малой положительной константой), то, используя выражение (5.27), можно определить необходимое число итераций для обеспечения заданной ошибки. И наоборот, если задано число итераций , формулу (5.27) можно использовать для определения ограничений, накладываемых на .

Если процесс вычислений заканчивается после -й итерации, эффективный частотный отклик описывается формулой

,                              (5.29)

что соответствует частотному отклику КИХ-фильтра, аппроксимирующему требуемый рациональный частотный отклик .