4.4.2. Существование комплексного кепстра [24]

Не каждая двумерная последовательность  имеет комплексный кепстр. Чтобы комплексный кепстр существовал, необходимо, чтобы функция  была аналитичной в некоторой области сходимости . Это означает, что функция  должна быть непрерывной, дифференцируемой и периодической при движении  и  по замкнутому контуру. Разберем частный случай, когда контурные интегралы в выражении (4.90) берутся по единичной биокружности . Тогда выражение (4.90) принимает вид

.           (4.99)

Функция  должна быть непрерывной, дифференцируемой и дважды периодичной по переменным  и . Записав функцию  в полярных координатах, получим, что

.                                        (4.100)

Функция  будет непрерывной и дифференцируемой, если в качестве  взята развернутая фазовая функция (разд. 4.3.2) и если функция  конечна и не равна нулю. Требование двойной периодичности  эквивалентно, таким образом, требованию, чтобы развернутая фазовая функция  была дважды периодичной. Мы покажем, что если это не так, то ее можно записать как сумму периодической и линейной фазовых компонент. Линейную компоненту можно устранить путем формирования новой последовательности , являющейся просто сдвинутой копией . Поскольку развернутая фазовая функция последовательности  периодична и непрерывна, для  можно определить комплексный кепстр.

Для простоты предположим, что  - последовательность конечной протяженности, так что функция  является просто тригонометрическим полиномом. Примем, что . Тогда, рассматривая параметрическую функцию , можно попытаться определить полное приращение развернутой фазы при изменении переменной  в пределах  при фиксированном значении переменной . Принцип аргумента дает, что полное изменение будет равно , где  - целое число, зависящее от количества корней  внутри единичной окружности . Поэтому

.                               (4.101)

Аналогично можно получить выражение

.                                 (4.102)

Если  как функция  не является константой, то с изменением переменной  количество корней  внутри единичной окружности  должно изменяться. Это может произойти только в том случае, когда корень перемещается изнутри единичной окружности наружу или наоборот. В любом случае траектория корня должна содержать точку, лежащую на единичной окружности, поскольку перемещение корня при изменении переменной  носит непрерывный характер. Однако это противоречит первоначальному допущению, что . Следовательно,  и аналогично  - целочисленные константы, которые мы обозначим просто через  и . Теперь рассмотрим последовательность

,                                            (4.103)

являющуюся просто сдвинутой копией . Преобразование Фурье последовательности  описывается выражением

.                  (4.104)

Следовательно, развернутую фазу  можно записать в виде

,                                      

причем  удовлетворяет соотношениям

,                                          (4.105а)

.                                           (4.105б)

В общем случае можно показать, что  непрерывна и дважды периодична, так что функция  удовлетворяет необходимым условиям определения комплексного кепстра

.                       (4.106)