5.5.4. Методы синтеза БИХ-фильтров с нулевой фазой в частотной области

Часто (особенно при обработке изображений) требуется фильтрация сигнала фильтром с симметричным импульсным откликом. Такие фильтры обладают частотным откликом с вещественными значениями, или с нулевой фазой. Ранее БИХ-фильтры с нулевой фазой реализовывались обычно двумя способами - последовательным (каскадным) или параллельным.

При каскадном способе организации фильтр с импульсным откликом  включается последовательно с фильтром, имеющим импульсный отклик . Результирующий импульсный отклик такого каскада имеет вид , а результирующий частотный отклик - вид вещественной неотрицательной функции

.                                        (5.126)

Как показывает это выражение, частотный отклик каскада ограничен классом неотрицательных функций . Кроме того, в этом случае возникают некоторые вычислительные трудности из-за переходных процессов. Выходные отсчеты второго фильтра каскада вычисляются рекурсивно, причем рекурсия выполняется в направлении, противоположном направлению для первого фильтра. Если  - отклик БИХ-фильтра, то его выходной сигнал имеет бесконечную протяженность, и теоретически перед тем, как начать фильтрацию , следует вычислить бесконечное число значений выходных отсчетов первого фильтра, даже если в конце требуется получить сигнал в ограниченной области. Усечение вычислений в первом фильтре может привести к появлению ошибки. На практике следует вычислять выходной сигнал первого фильтра по достаточно протяженной области, чтобы переходные процессы на выходе второго фильтра за счет начальных отсчетов в достаточной степени затухли в интересующей нас области выходного сигнала.

При параллельном способе организации результирующий выходной сигнал представляет собой сумму выходных сигналов двух БИХ-фильтров с опорной несимметричной полуплоскостью (или четырех фильтров с опорными четверть плоскостями). Как и в случае каскадного способа, второй фильтр представляет пространственно-инверсную копию первого, так что результирующий частотный отклик описывается выражением

.                        (5.127)

Такой подход позволяет устранить трудности реализации фильтров с нулевой фазой, характерные для каскадной структуры, но наилучшим образом его можно использовать при синтезе БИХ-фильтров в пространственной области, где требуемый отклик фильтра  можно разделить по соответствующим опорным областям.

В разд. 5.2 детально обсуждался относительно новый итерационный метод реализации БИХ-фильтров с нулевой фазой. Описываемые ниже методы синтеза в частотной области позволяют получать фильтры, реализуемые итерационным методом.

Частотный отклик двумерного БИХ-фильтра с нулевой базой можно записать в виде

.  (5.128)

[Как и ранее, принимается, что .] Поскольку

 и                                                                                         (5.129а)

,                                                                                           (5.129б)

функции  и  можно записать проще:

,                                                       (5.130а)

,                                                   (5.130б)

где

,  для ,                              (5.131а)

,  для .                    (5.131б)

[Суммирование в выражении (5.130) выполняется по соответствующим несимметричным полуплоскостям конечной протяженности.] Теперь можно построить функционал среднеквадратичной ошибки, который поддается минимизации описанными ранее методами. В результате минимизации мы получим коэффициенты  фильтра с нулевой фазой, из которых с помощью выражений (5.131) легко получаются коэффициенты . Затем для реализации синтезированного фильтра можно воспользоваться приемами, описанными в разд. 5.2.

Можно поступить и по-другому, минимизируя функционал ошибки в виде

.                              (5.132)

Это задача оптимизации с высокой степенью нелинейности, однако имеется итерационный метод, названный дифференциальной коррекцией [20-24], позволяющий минимизировать , решая на каждой итерации задачу линейного программирования. Заметим, что ,  и  - функции с вещественными значениями.

Предположим, что после  итераций мы получили аппроксимацию требуемого вещественного частотного отклика . Обозначим эту аппроксимацию через

.                                                                                       (5.133)

Далее найдем ошибку  этой аппроксимации:

.                       (5.134)

Теперь можно определить функционал дифференциальной коррекции:

.                               (5.135)

Этот функционал через посредство  и  в числителе (5.135) зависит от параметров фильтра . Подбирая эти параметры, можно минимизировать функционал , который обычно меньше нуля. Итерации выполняются до достижения условия ; полученная функция  является наилучшей аппроксимацией отклика . Минимизацию  на каждой итерации можно выполнять методами линейного программирования (см., например, работу [25]). Алгоритм дифференциальной коррекции, отличаясь математической элегантностью, может потребовать значительного количества вычислений, поскольку на каждой итерации надо решать задачу линейного программирования.

Синтез двумерных БИХ-фильтров с нулевой фазой можно выполнить с помощью описанного в разд. 3.5.3 преобразования Мак-Клеллана, применяемого к полиномам в числителе и знаменателе одномерного БИХ-фильтра с нулевой фазой. Пусть, например,

,                   (5.136)

где  - -й полином Чебышева. Тогда можно, заменив  двумерным тригонометрическим полиномом малого порядка с нулевой фазой , получить двумерный частотный отклик

.                                (5.137)

Например, в качестве отклика симметричного одномерного фильтра можно выбрать квадрат амплитудной характеристики одномерного цифрового фильтра Баттерворта нижних частот. Этот частотный отклик описывается функцией

,                                                                        (5.138)

где  - частота среза [1]. Используя тригонометрические тождества, можно выразить  как функцию

,                                                       (5.139)

где

.                                                                (5.140)

Теперь можно подставить вместо  двумерную функцию

                          (5.141)

и получить частотный отклик почти кругового симметричного БИХ-фильтра нижних частот.

На каждом шаге итерационной реализации необходимо фильтровать сигнал фильтром с частотным откликом вида

,                                                                        (5.142)

причем  - функции с вещественными положительными значениями. Как указывалось в разд. 5.2, это - двумерная КИХ-фильтрация, которую можно выполнить с помощью методов, описанных в гл. 3. В частности, если фильтр с откликом  синтезирован с использованием преобразования Мак-Клеллана, то частотный отклик  можно реализовать, используя модифицированный вариант схемы, описанной в разд. 3.5.4.