3.3.3. Пример синтеза

В качестве простого примера рассмотрим синтез -точечного КИХ-фильтра, аппроксимирующего идеальный частотный отклик:

              (3.24)

Поскольку идеальный отклик чисто веществен, следует синтезировать фильтр с нулевой фазой. Это значит, что начало координат должно быть центром симметрии в области . Возьмем в качестве  множество точек

.                                                         (3.25)

Синтезируем фильтр с использованием обоих упомянутых выше способов формирования двумерного окна, взяв в качестве прототипа одномерное окно Кайзера [3]. Для окна, полученного вращением, фактической опорной областью будет круговая подобласть, входящая в .

Идеальный импульсный отклик  можно найти, выполнив обратное преобразование Фурье функции . Это уже было сделано в гл. 1, где был получен результат

.                                      (3.26)

Здесь  - функция Бесселя первого порядка. Выражения для окон будут иметь вид

                        (3.27)

                    (3.28)

Умножив затем (3.27) или (3.28) на (3.26), получим оба искомых фильтра. Частотные отклики фильтров изображены на рис. 3.4 для случая  [4]. Для каждого фильтра частотный отклик представлен в перспективной проекции и в форме линий равных значений. Перспективная проекция дает наглядное представление о качестве фильтра, в то время как линии равных значений удобнее для оценки круговой симметрии полос пропускания и непропускания. Фильтр, синтезированный с использованием окна , характеризуется максимальной погрешностью аппроксимации в полосе пропускания 0,2914, а в полосе непропускания - 0,1341. Максимальная погрешность фильтра, синтезированного с использованием окна , составляет в полосе пропускания 0,1468, а в полосе непропускания - 0,1105.

Рис. 3.4. Частотные отклики двух -точечных КИХ-фильтров нижних частот, синтезированных методом окон.

а - перспективная проекция отклика, построенного с использованием прямого произведения одномерных окон; б - контурное изображение; в - перспективная проекция отклика, построенного с использованием вращающегося окна; г - контурное изображение. Контуры проведены через одинаковые значения  с интервалом 0,1 в пределах от  до . (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [4]. © 1981 Springer-Verlag.)

Частотные отклики синтезированных фильтров отличаются от идеального отклика по двум признакам. Отклик не является плоским ни в полосе пропускания, ни в полосе непропускания, а срез фильтра не абсолютно острый. Первый недостаток обусловлен наличием боковых лепестков в Фурье-спектре функции окна, второй - конечной шириной главного лепестка Фурье-спектра. Изменение параметра окна  в выражении для окна Кайзера позволяет находить компромиссное решение для остроты среза и гладкости частотного отклика в полосах пропускания и непропускания.

На рис. 3.5 представлен отклик фильтра нижних частот с круговой симметрий. В идеальном случае отклик имеет значение 1 в полосе пропускания и 0 в полосе непропускания, однако на практике действительные значения будут отличаться от номинальных. Пусть  - максимальная ошибка аппроксимации в полосе пропускания, a  - максимальная ошибка аппроксимации в полосе непропускания. Сами полосы пропускания и непропускания определяются граничными частотами пропускания  и непропускания . По мере того как величины ,  и  уменьшаются, качество фильтра улучшается. Один из основных мотивов ограничить наше обсуждение круговыми фильтрами нижних частот связан с тем, что качество таких фильтров описывается лишь тремя числами. Сложность фильтра мы будем характеризовать порядком фильтра .

Рис. 3.5. Характеристики фильтра нижних частот.

Следуя подходу Кайзера [3] для одномерного случая, можно экспериментально получить формулу для вычисления порядка  (площадь импульсного отклика равна ) через характеристики фильтра ,  и  [5]. Порядок фильтра, использующего произведение окон, оценивается формулой

,                                                        (3.29)

а фильтра, использующего вращение окна, - формулой

.                                                       (3.30)

Видно, что с точки зрения требований к порядку фильтра оба способа практически эквивалентны.

Параметр окна  можно оценить, исходя из требуемого коэффициента ослабления фильтра АТТ (англ. ATTenuation), определяемого следующим образом:

.                                                           (3.31)

Для методики с произведением окон экспериментально было получено следующее выражение для :

               (3.32)

Для методики с вращением окна параметр  приблизительно равен

               (3.33)

Практически оба способа формирования окна приводят к одному и тому же значению порядка кругового фильтра нижних частот. Это дает некоторые преимущества методике вращения окна, поскольку образуемая в этом случае круговая опорная область содержит меньше отсчетов, чем квадратная опорная область окна, полученного с помощью прямого произведения одномерных окон. Уменьшение числа коэффициентов можно использовать для сокращения объема вычислений при реализации фильтра. Однако следует заметить, что для фильтров, не обладающих круговой симметрией, это утверждение, возможно, и не справедливо.