5.3.3. Реализации с переменными состояния

В теории одномерных линейных систем и в теории управления большую роль играет понятие состояния фильтра. В принципе состояние фильтра в любой момент времени содержит всю информацию, необходимую для вычисления оставшейся части выходного сигнала фильтра для данного входного сигнала. Реализацию одномерного фильтра с одним входом и одним выходом, базирующуюся на модели с переменными состояния, можно записать в виде

,                                         (5.62а)

.                                             (5.62б)

Эти уравнения связывают входной сигнал  с выходным сигналом  с помощью вектора состояния . Вектор состояния изменяется во времени в соответствии с выражением (5.62а). Матрицы ,  и , а также матрица  размера  определяют конкретную форму взаимосвязи входа и выхода. (В общем случае эти матрицы могут изменяться при изменении индекса , а входной и выходной сигналы также могут быть векторами.) Очень часто в качестве компонент вектора состояния берутся выходные значения операторов задержки  в направленном графе, описывающем одномерный фильтр. Классическая задача в теории переменных состояния состоит в нахождении матриц , ,  и , которые дают требуемую передаточную функцию  с минимальным числом переменных состояния.

Аналогичный подход можно использовать при построении двумерной модели с переменными состояния. Мы кратко опишем модель, предложенную Рёссером [6] и получившую дальнейшее развитие в работах Кунга и др. [7]. Модель Рёссера использует два типа переменных состояния: переменные состояния горизонтального распространения, которые мы будем обозначать через  и переменные состояния вертикального распространения, обозначаемые . Переменные состояния горизонтального распространения, взятые в совокупности, образуют вектор ; аналогично образуется вектор . Тогда модель с переменными состояния двумерного ЛИС-фильтра с одним входом и одним выходом принимает вид

,              (5.63а)

.                               (5.63б)

Заметим, что, согласно (5.63а), , распространяясь в горизонтальном направлении, образует , a , распространяясь в вертикальном направлении, образует .

Для этого класса фильтров можно найти передаточную функцию

,

выполнив двумерное -преобразование выражений (5.63) и разрешив результат относительно . Это дает

.                   (5.64)

Подматрица  - это просто умноженная на  единичная матрица соответствующего размера. Аналогично  - это единичная матрица, умноженная на . Цель задачи реализации с использованием переменных состояния заключается в нахождении матриц , ,  и , которые дают функцию , точно или приблизительно равную требуемой передаточной функции . В сущности, выражения (5.63) определяют способ реализации, для которой следует найти алгоритм синтеза. Недостаток места не позволяет нам вдаваться в подробности задачи синтеза; интересующиеся отсылаются к работе Кунга и др. [7], а также к литературе по теории управления [8]. Ниже мы обсудим вопросы реализации с использованием переменных состояния на основе направленных сигнальных графов.

Одна из возможностей состоит в выборе в качестве переменных состояния выходных сигналов операторов сдвига. В этом случае  - вектор, содержащий выходные сигналы операторов , a  - вектор, образованный выходными сигналами операторов . (Заметим, что выходной сигнал ветви оператора сдвига не обязательно совпадает с сигналом в узле, на котором заканчивается ветвь сигнала.) Если переменная состояния соответствует выходу оператора сдвига, следующее значение этой переменной должно соответствовать входу оператора сдвига. Чтобы получить подматрицы , ,  и  в выражении (5.63а), нужно выразить входной сигнал каждого оператора сдвига через выходы всех, операторов сдвига, следя за тем, чтобы включить все ветви от выхода ко входу, не содержащие сдвигов.

Вернемся к направленному сигнальному графу на рис. 5.20 и получим для него реализацию с использованием переменных состояния. Присвоим выходу верхнего оператора  обозначение , выходу нижнего оператора  обозначение , выходу левого оператора  обозначение  и выходу правого оператора  обозначение , как это показано на рис. 5.21. Для этого примера выражения (5.63) принимают следующий вид:

, (5.65а)

.                                                          (5.65б)

Pиc. 5.21. Направленный граф из рис. 5.20 с системой условных обозначений. Заметим, что метки  относятся к выходам ветвей с операторами сдвига, а не к узловым сигналам.

Эти два векторно-матричных выражения представляют собой алгоритм вычисления значений отсчетов выходного сигнала по значениям отсчетов входного сигнала. Как и в предыдущем разделе, объем памяти, требуемой для хранения переменных состояния, зависит от порядка, в котором вычисляются значения выходных отсчетов. Можно представить себе четырехпроцессорное устройство для решения уравнения (5.65а), где на каждый процессор возлагается задача вычисления следующего значения конкретной переменной состояния по текущему входному значению и текущим значениям переменных состояния. Уравнение (5.65б) можно реализовать с помощью пятого микропроцессора, который вычисляет требуемые значения выходного сигнала. При использовании такой архитектуры минимизация числа микропроцессоров соответствует минимизации числа переменных состояния, что представляет собой задачу, глубоко разработанную в литературе по теории управления [7,8]. Можно найти и другие структуры с тем же числом переменных состояния, приводящие к реализации той же передаточной функции , но отличающиеся меньшей чувствительностью к погрешностям коэффициентов или меньшим шумом округления [7,9].

В частном случае двумерных БИХ-фильтров, обладающих только полюсами, т. е. фильтров с передаточной функцией вида

,                                                      (5.66)

где  - константа, а  - двумерный полином, можно показать, что реализации с использованием переменных состояния, основанные на направленных сигнальных графах, когда в качестве переменных состояния выбираются операторы сдвига, требуют минимального числа переменных состояния. Они являются минимальными реализациями [7].

Любопытно отметить, что в более общем случае, когда полином  не является константой, реализации с использованием переменных состояния, основанные на обычных направленных сигнальных графах, наподобие представленного на рис. 5.20, могут и не оказаться минимальными. Рассмотрим такой пример. Пусть

.                      (5.67)

Ha рис. 5.22 показано представление этой передаточной функции в виде направленного сигнального графа с тремя операторами сдвига.

Рис. 5.22. Представление передаточной функции в виде направленного сигнального графа.

Заметим, что ветвь  отсутствует.

Кунг и др. [7] показали, что функцию  можно реализовать с помощью следующих выражений с использованием переменных состояния, в которых фигурируют только два оператора сдвига:

,                             (5.68а)

.                                                             (5.68б)

Константы  и  определяются из совместного решения нелинейных уравнений:

,                                                                                          (5.69а)

.                        (5.69б)

Используя уравнения (5.64) и (5.69), можно показать путем очевидных, но громоздких выкладок, что функция

                                       (5.70)

действительно равна функции , описываемой уравнением (5.67). С помощью выражений (5.68) можно построить направленный граф сигналов, имеющий только два оператора сдвига (рис. 5.23).

Рис. 5.23. Другой направленный сигнальный граф функции , использующий только два оператора сдвига. В общем случае коэффициенты  и  - комплексные числа.

Кунг и др. [7] показали, что принцип реализации с использованием переменных состояния в форме уравнений (5.68) можно обобщить на любую передаточную функцию , если она удовлетворяет следующим трем условиям. Константа  в числителе должна быть равна нулю, наибольшие степени  в полиномах числителя и знаменателя должны совпадать и наибольшие степени  в полиномах числителя и знаменателя также должны совпадать.

В реализациях этого типа с использованием переменных состояния возникает одна потенциальная сложность. При решении нелинейных уравнений значения констант  и  могут оказаться комплексными. Если, например, , ,  и , то вычисления дадут . Введение комплексной арифметики и расход памяти для комплексных сигналов могут свести на нет всю экономию (аппаратную, вычислительную и памяти), полученную от использования выражения (5.68) в форме с двумя переменными состояния. Проектировщик фильтра должен сам решить, какой подход предпочтительно использовать в каждом конкретном случае.