ВВЕДЕНИЕ

Одним из сопутствующих факторов компьютерной революции оказалось появление совершенно новых областей исследования. С каждым годом по мере увеличения быстродействия, уменьшения стоимости и размеров ИС растут возможности решения задач все возрастающей сложности. К ним относится цифровая обработка многомерных сигналов, требующая значительных объемов цифровой памяти и соответствующего количества арифметических операций и поэтому получившая развитие лишь в последнее время. Несмотря на сложность, цифровая обработка сигналов уже позволила найти решение ряда важных задач, начиная с компьютерной томографии (методики, позволяющей по проекциям рентгеновского изображения, полученным при различных ориентациях детекторов, выполнять трехмерную реконструкцию органов человеческого тела) и кончая проектированием полей пассивных акустических датчиков и исследованием ресурсов Земли с помощью спутников. В дополнение к многочисленным блистательным и скромным приложениям цифровая обработка многомерных сигналов имеет также прочное математическое обоснование, позволяющее не только понять уже достигнутое, но и эффективно исследовать новые проблемы по мере их возникновения и успешно их решать.

Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сигнал - это некоторое средство для передачи информации, а целью обработки сигналов является извлечение этой информации. Так, ансамбли изменяющихся во времени электрических потенциалов, плотность зерен серебра фотографической эмульсии или массивы чисел в памяти ЭВМ представляют собой примеры сигналов. Обычно обработка сигналов включает в себя перенос информации с одного сигнала на другой. Например, с фотографии за счет сканирования можно собрать информацию, дискретизировать ее и записать в память ЭВМ. В этом случае информация переносится с сигнала в виде переменной плотности зерен серебра на пучок видимого света, затем на электрический сигнал и наконец на последовательность чисел, которые в свою очередь характеризуются определенным расположением областей намагниченности на диске ЭВМ. Сканирующее устройство компьютерного томографа представляет собой более сложный пример; информация о структуре исследуемого объекта сначала переносится на электромагнитные волны, которые после дискретизации преобразуются в совокупность чисел, последняя в свою очередь обрабатывается вычислительным алгоритмом и наконец эта информация представляется на экране электроннолучевой трубки (ЭЛТ) или фотографической пленке. Цифровая обработка не может увеличить объем информации, однако она может преобразовать ее в такую форму, что наблюдатель (человек) сможет легко расшифровать информацию; вместо того чтобы смотреть на многочисленные теневые изображения, наблюдатель может изучать поперечные сечения объекта.

Независимо от своей физической сущности сигналы представляют интерес только благодаря содержащейся в них информации. Рискуя быть обвиненным в излишнем обобщении, можно сказать, что обработка сигналов включает в себя две основные задачи - преобразование способа представления информации в сигнале и сокращение ее объема. Мы уже приводили два примера преобразования способа представления информации в сигнале - компьютерную томографию и сканирование изображений. К ним легко можно добавить и другие примеры - улучшение визуального качества изображений, коррекция смаза изображений, спектральный анализ и т. д. Сокращение объема информации заключается в удалении ненужной информации. Оператора, наблюдающего радиолокационное изображение, обычно интересуют лишь отдельные конкретные ответы на вопросы: есть ли на нем что-нибудь; если есть, то что; свой или чужой; с какой скоростью движется и куда направляется? Однако приемник РЛС предоставляет оператору еще и информацию о погоде, радиопомехах, птицах, местных предметах, шуме приемника и т. д. Оператор должен отделить существенное от несущественного, и здесь обработка сигналов может оказать неоценимую помощь. Другими примерами обработки сигналов с потерей информации являются подавление шума, оценка параметров и выделение признаков.

Цифровая обработка сигналов касается обработки сигналов, которые можно представить в виде последовательности чисел, а цифровая обработка многомерных сигналов - обработки сигналов, представленных в виде многомерных массивов чисел, например массивов, получаемых после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Преобразование непрерывных сигналов в цифровые позволяет использовать для их обработки цифровые процессоры и описывать операторы как алгоритмы или процедуры.

Причины использования цифровых методов вряд ли нуждаются в перечислении. Цифровые методы отличаются одновременно мощностью и гибкостью. Цифровые системы могут быть адаптивными, и их просто перестраивать. Цифровые алгоритмы легко перенести с оборудования одного изготовителя на оборудование другого или их можно реализовать с помощью специализированных цифровых процессоров. Они с равным успехом могут использоваться для обработки сигналов, представляющих собой как временные, так и пространственные функции, и их легко сочетать с логическими операторами, такими, как операторы классификации образов. Цифровые сигналы можно хранить в неизменном виде неограниченное время. Для многих приложений цифровые методы оказываются дешевле по сравнению с другими методами, а в ряде случаев они просто незаменимы.

Велико ли различие между обработкой многомерных и одномерных сигналов? Если подходить абстрактно, то невелико. Многие операции при обработке многомерных сигналов используются и при обработке одномерных сигналов, например дискретизация, фильтрация и вычисление преобразований. Если же рассматривать более подробно, то придется признать, что обработка многомерных сигналов может иметь существенные отличия. Это объясняется тремя факторами: 1) обычно для решения двумерных задач необходимо использовать значительно больший объем данных, чем при решении одномерных; 2) математические методы описания многомерных систем не отличаются той завершенностью, которая характерна для математических методов описания одномерных систем; 3) многомерные системы обладают значительно большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование приобретает гибкость, несвойственную одномерным системам. Так, все рекурсивные цифровые фильтры реализуются с помощью разностных уравнений, но в одномерном случае эти уравнения упорядочены полностью, а в многомерном случае - лишь частично. Эту дополнительную гибкость можно использовать. Дискретное преобразование Фурье в одномерном случае можно вычислить с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье, а в многомерном случае имеется множество ДПФ, и для вычисления каждого можно использовать множество алгоритмов БПФ. В одномерном случае выбирается только частота отсчетов, а в многомерном - не только частота отсчетов, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы в отличие от одномерных не разлагаются на множители. Поэтому в многомерном случае мы не можем говорить об изолированных полюсах, нулях и корнях. Это значит, что цифровая обработка многомерных сигналов может существенно отличаться от цифровой обработки одномерных сигналов.

В начале 60-х годов многие методы цифровой обработки одномерных сигналов разрабатывались с целью использования цифровых систем для моделирования аналоговых. В результате значительная часть теории дискретных систем строилась по образцу теории аналоговых систем. С течением времени обнаружилось, что хотя цифровые системы могут очень хорошо моделировать аналоговые системы, они способны на гораздо большее. Под влиянием этого обстоятельства, а также мощного толчка, обусловленного технологией изготовления аппаратных средств, методы цифровой обработки сигналов получили интенсивное развитие, и многие из этих методов, широко используемых в настоящее время, не имеют эквивалентов в аналоговой технике. Такие же тенденции наблюдаются в развитии цифровой обработки многомерных сигналов. Поскольку теория двумерных аналоговых систем отсутствует, первые многомерные системы основывались на одномерных системах. В конце 60-х годов обработка двумерных сигналов выполнялась большей частью с использованием разделимых двумерных систем, что фактически сводилось к применению одномерных систем для обработки двумерных данных. С течением времени были разработаны специальные двумерные алгоритмы, которые соответствуют логической экстраполяции одномерных алгоритмов. Это был вынужденный шаг. Из-за того что для решения многих двумерных задач требуются большие объемы данных, а также из-за отсутствия теоремы о разложении многомерных полиномов на множители многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерной задачи. В настоящее время мы находимся на пороге уверенного решения этих проблем. Развитие вычислительной техники, уменьшение и удешевление электронных компонентов помогли разрешить проблему объема данных, и мы начинаем сознавать, что, хотя нам всегда будет мешать ограниченность вычислительных возможностей, многомерные системы обеспечивают нам и большую свободу проектирования. Исследование таких систем является перспективным и интересным делом.

В книге описываются многие успешные разработки, выполненные в этой интересной и быстро развивающейся области. Методы цифровой обработки сигналов тесно связаны с развитием технологии. Хотя мы приводим много примеров прикладного характера, мы все же стремились к тому, чтобы рассматриваемый материал не слишком опирался на технологию и не оказался в результате технологически устаревшим. Наоборот, мы старались выделять фундаментальные концепции, чтобы читатель не только понял, что уже сделано, но и смог сам развить описанные методы применительно к новым конкретным задачам.

Достижение этих целей предполагает некоторую начальную подготовку читателя, в частности его знакомство с теорией одномерных линейных систем и представление о цифровой обработке сигналов (в объеме книги Оппенгейма и Шафера [1], гл. 1-6).

Данная книга посвящена обработке любых сигналов с размерностью . В то время как теории обработки одномерных и двумерных сигналов существенно различаются, дальнейшее повышение размерности не приводит к заметным отличиям от двумерного случая, кроме повышения сложности вычислений. Поэтому, чтобы не усложнять рассуждения, математические выражения и иллюстрации, мы рассматриваем в основном двумерные задачи, которые получили широкое распространение на практике. В большинстве случаев обобщение осуществляется достаточно просто. Если же это не так, обобщение на случай большего числа измерений рассматривается в книге специально. Руководствуясь тем же правилом, мы не останавливаемся на результатах, являющихся очевидным обобщением одномерного случая.

Мы надеемся, что читатель придет к тем же выводам, к которым пришли и мы, когда впервые начали заниматься цифровой обработкой многомерных сигналов. Это та область знаний, в которой многое может дать интуиция, перенесенная из мира одномерных сигналов; вместе с тем окончательный результат часто оказывается неожиданным и противоречащим интуитивным соображениям. Ход рассуждений, приводящий к обобщению некоторых одномерных понятий на многомерные, может дать читателю более глубокое представление о существе операций обработки как многомерных, так и одномерных сигналов.