5.1. Классические схемы двумерных БИХ-фильтров

Имеется целая группа хорошо изученных способов реализации одномерных БИХ-фильтров, включая прямые формы реализации, а также построение каскадных и параллельных схем [1]. Классические способы реализации двумерных БИХ-фильтров, рассматриваемые в настоящем разделе, являются развитием этих одномерных способов, однако для них характерны некоторые особенности, отсутствующие в одномерном случае. Например, в разд. 4.1.4 мы рассматривали порядок вычисления значений выходных отсчетов. В одномерных разностных уравнениях порядок вычисления обычно определен однозначно. В двумерном же случае имеется известная свобода при решении вопроса о том, в каком порядке будут выполняться вычисления значений очередных отсчетов.

Это проявляется и при построении блок-схем фильтров. В блок-схемах обычно подразумевается, что данные проходят через схему последовательно, в заранее определенном порядке. Однако в двумерном случае порядок прохождения данных не определен однозначно, хотя на него и наложены ограничения соотношениями предшествования. Этот вопрос детально рассматривается в разд. 5.3.

5.1.1. Прямые формы реализации

БИХ-фильтр можно реализовать в прямой форме, если преобразовать разностное уравнение таким образом, чтобы значение выходного отсчета выражалось через значения входных отсчетов, а также уже найденных выходных отсчетов. В разд. 4.1 были детально рассмотрены разностные уравнения, в частности такие вопросы, связанные с прямой формой реализации, как порядок вычислений, рекурсивная вычислимость, использование входных и выходных масок. В данном разделе мы продолжим изучение прямых форм реализации и рассмотрим случай, когда входная маска имеет ненулевую протяженность.

Для фильтра первого квадранта входной сигнал  связан с выходным сигналом  соотношением

.  (5.1)

[Без нарушения общности здесь принято .] Поскольку отклик фильтра на импульс  по определению равен импульсному отклику , то можно получить соотношение

.                              (5.2)

Выполнив двумерные -преобразования выражений, стоящих слева и справа от знака равенства, решим это уравнение относительно :

.                                           (5.3)

Можно считать, что полученное отношение описывает каскад из двух фильтров, КИХ-фильтра с передаточной функцией  и чисто рекурсивного фильтра с передаточной функцией, равной , как это показано на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Представление фильтра с передаточной функцией .

Предположим, что входная маска имеет размер  точек, обработка выполняется столбец за столбцом и в каждом столбце желательно получить  выходных точек. В этом случае потребуется хранить  входных отсчетов, т. е. немного более  столбцов. Такой объем памяти как раз необходим для размещения входной маски, соответствующей КИХ-ступени в каскаде, показанном на рис. 5.1.

Вторая ступень каскада представляет собой БИХ-фильтр с постоянным числителем. Если его выходная маска содержит  точек и имеет отверстие в правом верхнем углу, то при фильтрации столбец за столбцом потребуется  ячеек памяти. В результате суммарный объем требуемой памяти для прямой формы реализации по столбцам составит  отсчетов.

Поскольку мы рассматриваем  как передаточную функцию каскада из двух ЛИС-фильтров, возникает возможность изменить порядок следования фильтров, как это показано на рис. 5.2; причем функция  останется при этом той же. Получившаяся реализация, которую мы будем называть двумерной прямой формой II, аналогична одномерной форме II [1]. В схеме, соответствующей двумерной форме II, объем требуемой памяти сокращен, поскольку намять используется совместно в петлях обратной и прямой связи. Система, представленная на рис. 5.2, соответствует реализации уравнения

                 (5.4)

и формированию затем выходного сигнала  путем фильтрации  КИХ-фильтром с передаточной функцией :

.                                            (5.5)

Рис. 5.2. Другая реализация функции , называемая «прямой формой II».

При этом нет необходимости одновременно хранить в памяти весь промежуточный выходной массив . В памяти должна находиться только часть массива , требуемая для вычисления последующих значений  и  по формулам (5.4) и (5.5).

Рассмотрим -точечную выходную маску, соответствующую формуле (5.4) и показанную на рис. 5.3. Маска скользит по массиву  (столбец за столбцом) и в соответствии с (5.4) формирует выходные значения . Входная маска, соответствующая передаточной функции фильтра , покрывает прямоугольную область шириной  точек и высотой  точек. Ограничимся пока случаем  и . Если мы только что закончили вычисление выходного значения  для конкретной точки , то можно сразу вычислять  в соответствии с формулой (5.5), поскольку, как это показано на рис. 5.3, все требуемые для этого отсчеты  имеются. В этом случае для реализации числителя передаточной функции фильтра дополнительная память не требуется.

Рис. 5.3. -точечная выходная маска (сплошная линия) и -точечная входная маска (штриховая линия) могут накладываться в случае реализации прямой формы II, что обеспечивает экономию памяти.

 - ранее вычисленные выходные значения; О - выходное значение, вычисляемое в настоящий момент;  - выходные значении, которые будут вычисляться в дальнейшем.

В более общем случае  может быть больше . Тогда для реализации формулы (5.5) потребуется сохранять в памяти  дополнительных столбцов массива . Таким образом, при использовании прямой формы II и обработке по столбцам требуется объем памяти , т. е. приблизительно .