3.5.3. Синтез КИХ-фильтров с использованием трансформаций

Идея преобразования одномерного КИХ-фильтра с нулевой фазой в многомерный с помощью замены переменных весьма привлекательна по целому ряду причин: упрощается реализация, одномерные фильтры легче трактовать, наконец можно надеяться, что использование оптимальных одномерных фильтров позволит синтезировать оптимальные многомерные фильтры. По этим причинам синтез многомерных КИХ-фильтров методом трансформаций стал весьма популярным. Впоследствии обнаружилось еще одно преимущество этого метода - эффективная реализация. Реализация фильтров умеренного порядка может быть существенно более эффективной, чем при использовании прямой свертки и ДПФ.

Метод синтеза был разработан Мак-Клелланом [15] и носит его имя, но существование эффективной реализации было обнаружено только через несколько лет Мекленбрёкером и Мерсеро [16, 17]. Описываемая в следующем разделе улучшенная реализация предложена Мак-Клелланом и Чэном [18]. Поскольку замена переменных, выполняемая в данном методе, не очевидна, мы начнем с обсуждения одномерных КИХ-фильтров с нулевой фазой.

Импульсный отклик одномерного фильтра  обладает эрмитовой симметрией

.                                                        (3.82)

Поскольку отсюда следует, что опорная область такого фильтра должна иметь центр в начале координат и содержать нечетное число отсчетов, примем в качестве опорной области  интервал . Будем также считать, что все отсчеты  имеют вещественные значения, а их Фурье-преобразование есть .

Тогда можно записать

.                (3.83)

В последнем выражении введено определение

                            (3.84)

Функцию  можно выразить в виде полинома степени  от переменной . Это будет полином Чебышёва  -го порядка. Несколько первых полиномов Чебышёва и соответствующие обратные соотношения приведены в табл. 3.1 и 3.2. Таким образом, имеем

.                                       (3.85)

Подстановка этого соотношения в выражение (3.83) дает возможность записать  в форме

.                          (3.86)

Записав частотный отклик в такой форме, можно сделать замену переменных. Например, подстановка

                                       (3.87)

дает двумерный частотный отклик

.         (3.88)

Функция  называется трансформирующей функцией. Если вместо  подставить -мерную трансформирующую функцию, получим -мерный частотный отклик.

Таблица 3.1. Первые семь полиномов Чебышева

Таблица 3.2. Инверсии первых пяти полиномов Чебышева

Как необходимо выбирать трансформирующую функцию ? Во-первых, функция  сама должна быть частотным откликом двумерного КИХ-фильтра, тогда и функция  будет частотным откликом двумерного фильтра. Во-вторых, требуется, чтобы, зная характеристики  и , можно было предсказать характеристики . И наконец должна существовать какая-то процедура выбора конкретных функций  и , приводящая к получению требуемой частотной характеристики . Очевидно, что выполнение всех этих условий невозможно без наложения некоторых ограничений на класс допустимых трансформирующих функций.

В простейшем случае в качестве  можно взять частотный отклик -точечного фильтра с нулевой фазой. В этом случае можно записать

,              (3.89)

где , , ,  и  - свободные параметры. Поскольку  - полином от  степени , то  будет полиномом от  степени . Отсюда следует, что фильтр с частотным откликом  можно представить в виде последовательно-параллельной комбинации подсистем с частотным откликом . В качестве примера на рис. 3.10 представлена структура фильтра с результирующим откликом

                                (3.90)

Рис. 3.10. Структура фильтра с частотным откликом в виде квадратичной функции от . (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [4], © 1981 Springer-Verlag.)

В пространственной области умножению на  соответствует свертка с функцией , являющейся обратным преобразованием Фурье функции . Если опорная область содержит  отсчетов и центр области совпадает с началом координат, то -кратная свертка функции  с самой собой будет обладать -точечной опорной областью. Такой же будет и опорная область фильтра . Отсюда видно, что если  - импульсный отклик КИХ-фильтра, то и  будет соответствовать КИХ-фильтру. Кроме того, если  - функция с нулевой фазой и соответственно  имеет вещественные значения, то и  будет вещественной функцией, поскольку коэффициенты полиномов Чебышёва вещественные. Поэтому если  - фильтр с нулевой фазой, то  будет фильтром с нулевой фазой.

Рассмотрим геометрическое место точек на -плоскости, для которых выполняется условие . По аналогии с линиями постоянного электромагнитного потенциала в теории поля назовем наши контуры эквипотенциалями. Контурная диаграмма есть не что иное, как изображение нескольких эквипотенциалей. Любая эквипотенциальная функция  является также эквипотенциалью функции . Поэтому, если не принимать в расчет абсолютных значений, приписываемых эквипотенциалям, контурные диаграммы  и  совпадают. Далее, легко заметить, что для преобразования первого порядка, определенного в (3.89), форма эквипотенциалей  зависит только от пяти параметров , , ,  и  независимо от того, насколько большим мы делаем порядок одномерного прототипа. С другой стороны, значение функции  на конкретной эквипотенциали зависит и от значения , и от параметров  фильтра-прототипа. Если  удовлетворяет условию , то  может принимать только те значения, которые принимает . Синтез с использованием преобразования распадается на два этапа. На первом с помощью трансформирующей функции устанавливается форма эквипотенциалей, на втором с помощью частотного отклика-прототипа определяются значения эквипотенциалей.

Пример 2

Рассмотрим в качестве примера трансформацию первого порядка при значениях параметров , , . Именно такую трансформирующую функцию предложил Мак-Клеллан [15]. Картина эквипотенциалей для этой трансформации показана на рис. 3.11. Эквипотенциали вблизи центра имеют форму, близкую к окружности, а по мере приближения к краям становятся все больше похожими на квадраты. Для этого примера

.                                            (3.91)

Положив , получим . Отсюда .                    (3.92)

Рис. 3.11. Линии постоянного значения для трансформации первого порядка при , , . Они проведены с приращением  по величине .

(С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [4] , © 1981 Springer-Verlag.)

Для такой трансформирующей функции частотный отклик-прототип становится поперечным сечением двумерного частотного отклика. Поэтому одномерный фильтр нижних частот преобразуется в двумерный фильтр нижних частот; одномерный полосовой фильтр преобразуется в двумерный фильтр с «кольцевой» полосой пропускания, как это показано на рис. 3.12. Далее, пульсации в полосах пропускания и непропускания прототипа преобразуются без изменения амплитуды в пульсации результирующего фильтра.

Рис. 3.12.

а и в - одномерные прототипы фильтра нижних частот и полосового фильтра соответственно; б и г - двумерные фильтры, полученные с помощью трансформирующей функции из рис. 3.11, использованной с прототипами а и в. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро [4]. ©1981 Springer-Verlag.)

Пример 3

В качестве второго примера рассмотрим синтез фильтра с частотным откликом, напоминающим лопасти вентилятора: в квадрантах I и III частотный отклик должен иметь единичное значение, а в квадрантах II и IV - нулевое (см. задачу 1.21). Требуемый отклик представлен на рис. 3.13,а. Для аппроксимации такой функции с использованием трансформации нам потребуется трансформирующая функция , эквипотенциалями которой служат две оси координат. Одной из функций, которая обладает этим свойством, является функция

.                 (3.93)

Рис. 3.13.

а - требуемый частотный отклик; б - контурная диаграмма функции , которую можно использовать для решения данной задачи; в - частотный отклик одномерного фильтра-прототипа; г - результирующий частотный отклик цифрового -точечного КИХ фильтра. (С любезного согласия Расселла М. Мерсеро, IEEE Trans. Acoustics. Speech, and Signal Processing, © 1980 IEEE)

Это трансформация первого порядка при , , ; трансформирующая функция положительна в квадрантах I и III и отрицательна в квадрантах II и IV. Поскольку требуется выполнить подстановку , а функция  положительна при  и отрицательна при , значения отклика-прототипа для  будут отображены на квадранты I и III, а для  - на квадранты II и IV. Таким образом, прототип должен быть фильтром нижних частот с частотой среза  рад, как это показано на рис. 3.13,в для . -точечный импульсный отклик результирующего двумерного фильтра представлен на рис. 3.13,г [19].

Имеется ряд алгоритмов выбора наилучшей для конкретного применения трансформирующей функции. Их обзор приведен в работе [16]. Поскольку трансформирующие функции сами являются частотными откликами КИХ-фильтров с нулевой фазой, допустимо использование различных методов синтеза фильтров, в частности метода окон. Если одномерный фильтр-прототип является фильтром нижних частот, то идеальная трансформирующая функция должна приближаться к  там, где должна быть полоса пропускания результирующего фильтра, и к  там, где должна быть полоса непропускания.

Поскольку в частотном отклике одномерного фильтра-прототипа функция  заменяет функцию , она должна удовлетворять неравенству

                                                                (3.94)

в области . Однако это условие не должно усложнять процесс выбора преобразующей функции, так как если

,                                           (3.95)

то  и  будут иметь одни и те же эквипотенциали. Если функция  выбрана с нарушением условия (3.94), то можно определить ее максимальное и минимальное значения, а затем использовать для синтеза фильтра трансформирующую функцию вида

,          (3.96)

которая имеет те же эквипотенциали, что и функция , и удовлетворяет условию (3.94).