3.5.2. Параллельные КИХ-фильтры

Два КИХ-фильтра с импульсными откликами  и , соединенные параллельно, эквивалентны одному фильтру с импульсным откликом

.                                                  (3.64)

Легко видеть, что справедливо и обратное: любой фильтр с импульсным откликом  можно представить в виде параллельного соединения фильтров с импульсными откликами  и . В общем случае естественно ожидать, что опорная область для  будет объединением опорных областей для  и , однако она может быть и меньше, если два фильтра  и  гасят друг друга. К сожалению, такое разложение редко приводит к сокращению объема вычислений; фактически объем вычислений может увеличиться.

Однако сокращения объема вычислений можно добиться, если наложить на  и  некоторые ограничения, например если потребовать, чтобы  и  были разделимыми фильтрами. Разделимые фильтры отличаются высокой эффективностью реализации, но с их помощью можно точно аппроксимировать только разделимые импульсные отклики. Однако при параллельном соединении двух разделимых фильтров образуется неразделимый фильтр. Это дает возможность аппроксимации неразделимых переходных характеристик с помощью легко реализуемых фильтров. Эта идея была первоначально предложена Трейтелем и Шэнксом [14], которые назвали такие фильтры многоступенчатыми разделимыми фильтрами.

Напомним (гл. 1), что разделимый фильтр - это такой фильтр, импульсный отклик которого можно представить в виде произведения функций горизонтальных и вертикальных индексов. Так, функция

                                                         (3.65)

является импульсным откликом разделимой системы. Частотный отклик такого фильтра равен прямому произведению двух одномерных частотных откликов:

.                                      (3.66)

Этот фильтр можно реализовать путем свертки каждой строки входной последовательности с , а затем каждого столбца результата с . Если импульсный отклик  содержит  отсчетов, соответствующих -точечной последовательности  и -точечной последовательности , то вычисление каждого выходного отсчета потребует операций умножения и сложения для вычисления сверток столбцов. Общее число операций  намного меньше числа операций , которые потребовались бы, если бы  не была разделимой функцией.

В качестве обобщения рассмотрим фильтр, представляющий собой параллельное соединение нескольких разделимых фильтров, как это показано на рис. 3.9. Импульсный отклик такого фильтра имеет виду

,                                               (3.67)

а частотный отклик - вид

,                             (3.68)

где  - число разделимых фильтров, объединяемых таким образом. Если каждая последовательность  имеет длину  точек, а каждая последовательность  -  точек, то вычисление одного выходного отсчета потребует  операций умножения и сложения. Такие фильтры дают экономию при реализации, если при прочих равных условиях

.                                                           (3.69)

Разделимым фильтрам соответствует частный случай .

Рис. 3.9. Многоступенчатый разделимый КИХ-фильтр с  разделимыми ступенями.

Задача синтеза заключается в нахождении таких ,  для , чтобы отклик фильтра аппроксимировал идеальный отклик при умеренных значениях  (если  становится сравнимым с  или , реализация неэффективна). Трейтель и Шэнкс выполняли аппроксимацию в пространственной области; другими словами, они аппроксимировали -точечный требуемый импульсный отклик  откликом  вида (3.67).

Рассматриваемая аппроксимация сводится к разложению  по собственным векторам. Предположив (без потери общности), что  и что столбцы  линейно независимы, мы можем записать

,                             (3.70)

где  - собственные значения (вещественные и положительные) матрицы

.                              (3.71)

Последовательности  представляют собой нормированные собственные вектор-строки, соответствующие , а  - нормализованные собственные вектор-столбцы матрицы

.                              (3.72)

Матрица  размером  имеет , собственных значений. Матрица  размером  имеет  собственных значений, из которых только  - ненулевые. Ненулевые собственные значения равны собственным значениям матрицы . Собственная вектор-строка из  и собственный вектор-столбец из , которые принадлежат одному и тому же собственному значению, объединены в (3.70) в пару. При реализации фильтра для некоторого уменьшения числа арифметических операций коэффициенты  можно отнести к  или . Указанное разложение будет точным, если , но в этом случае отсутствует выигрыш в числе операций.

Пусть собственные значения  записаны в порядке убывания, так что  является наибольшим, и . Все повторяющиеся собственные значения должны быть записаны отдельно. Если  - сумма квадратов элементов , a  - сумма квадратов элементов множества, определяющего ошибку и образованного как разность между требуемым откликом и откликом, получаемым при аппроксимации фильтра -ветвями, то нормированная ошибка описывается формулой

.                          (3.73)

Имеется несколько возможностей обобщения этого результата. Можно рассмотреть разложения, в которых не все  и  имеют одну длину или для определения свободных параметров фильтра используются критерии ошибки в частотной области. Можно также распространить эту методику на синтез многоступенчатых разделимых БИХ-фильтров. Насколько известно авторам, эти возможности пока не реализованы.

Пример 1

В качестве очень простого примера рассмотрим двумерный отклик вида

; ; ; ,        (3.74)

который можно записать в форме матрицы

.                                                                    (3.75)

Построим разделимую аппроксимацию этого фильтра. Соответствующие матрицы  и  имеют вид

,     .                (3.76)

Собственные значения ,  должны удовлетворять одному из двух уравнений

 или .                               (3.77)

Отсюда  и . Собственные вектор-строки и вектор-столбцы удовлетворяют соотношениям

,                                           (3.78а)

,                                         (3.78б)

,                                         (3.78в)

.                           (3.78г)

Решая эти уравнения при условии, что собственные        векторы нормализованы и имеют единичную длину, получим

,             (3.79а)

,                      (3.79б)

,                        (3.79в)

.                     (3.79г)

Аппроксимируя затем  функцией , получим коэффициенты разделимого фильтра

              (3.80)

с нормированной ошибкой

.                                 (3.81)

Прибавление  даст точную реализацию заданного отклика.

Аппроксимация -точечного разделимого фильтра не дает выигрыша в количестве требуемых арифметических операций. Однако фильтры большего порядка не поддаются ручному расчету.